پایان نامه کارشناسی ارشد
موضوع:
جهت یابی سیگنالهای پهن باند در سیستم های مخابراتی
DOA Estimation For Wideband Signals In Communication Systems
توسط:
روزبه خلیلی
استاد راهنما:
دکتر مهرزاد بیغش
دکتر عباس شیخی
اساتید مشاور:
دکتر محمود کریمی
دکتر مصطفی درختیان
سپاسگزاری
در اینجا برخود لازم میدانم که از کلیه افرادی که به نحوی مرا در انجام این پایان نامه یاری رساندند، تشکر و قدردانی نمایم. به خصوص اساتید گرامی، جناب آقای دکتر بیغش دکتر شیخی و دکتر درختیان و دکتر کریمی که در تمامی مراحل انجام این پروژه به اینجانب یاری رساندند و در نهایت تمامی دوستانی که در طول انجام این پایان نامه همراه و راهنمای من بودهاند، سپاسگزاری میکنم.
تقدیم به:
فهرست مطالب
عنوان صفحه
چکیده ۱
مقدمه ۲
:
۱-۱- مقدمه ۴
۱-۲- انتشار امواج ۴
۱-۳-سنسورهای آرایه ای ۶
۱-۴- پردازش سیگنال آرایه خطی ۷
۱-۴-۱- فرضیات پایه ۷
۱-۴-۱-۱- میدان دور ۷
۱-۴-۱-۲- سیگنال باند باریک ۷
۱-۴-۱-۳- ایستائی ۸
۱-۴-۱-۴- سیگنال های چندگانه ۸
۱-۴-۱-۵- نویز (Noise) 8
۱-۵- تبدیل مکان – زمان ۹
۱-۶- سیگنال های تصادفی ۱۰
۲-۱-مقدمه ۱۵
۲-۲-روش های مبتنی بر پایه طیف ۱۵
۲-۳-روش های شکل دهی پرتو ۱۵
۲-۳-۱-روش شکل دهی پرتو متعارف ۱۵
۲-۳-۲- روش کاپون ۱۷
۲-۳-۳- روش های مبتنی بر زیر فضا ۱۹
۲-۳-۴-معرفی روش ۲۰
۲-۳-۵- الگوریتم ۲۱
۲-۳-۶- معرفی روش ۲۳
۲-۳-۷-مدل داده ها ۲۵
۲۸
۲-۴-آنتن های آرایه ای ۳۱
۲-۵- مدل سیگنال ۳۵
۲-۶- ماتریس کوواریانس ۳۶
۳-۱- مقدمه ۳۹
۳-۲- معرفی سیگنال های باند پهن ۳۹
۳-۳- معرفی تکنیک های مختلف جهت یابی سیگنال های باند پهن ۴۱
۳-۳-۱- مدلسازی داده های باند پهن ۴۱
۳-۳-۲- معرفی اجمالی روش های جهت یابی سیگنال های باند پهن با بهره گرفتن از بانک فیلتر ۴۲
۳-۳-۳- مدل فرکانسی سیگنال باند پهن ۴۴
۳-۳-۴- الگوریتم های مختلف جهت یابی سیگنال های پهن باند ۴۷
۳-۳-۵- روش های جهت یابی ناهمبسته ۴۷
۳-۳-۶- روش های ناهمبسته فرکانسی ۴۸
۳-۳-۷- فرم دهنده بیم به روش کاپون ۴۸
۳-۳-۸- میانگین گیری حسابی ۵۱
۳-۳-۹- روش میانگین گیری هندسی ۵۲
۳-۳-۱۰- روش میانگین گیری هارمونیک ۵۳
۳-۳-۱۱- الگوریتم موزیک پهن باند ۵۳
۳-۳-۱۲- الگوریتم وزن دهی مناسب زیرفضاها ۵۵
۳-۳-۱۳- محاسبه تخمین به روش ۵۸
۳-۳-۱۴- ملاحظات عملی در روش ۶۰
۳-۳-۱۵- روش های جهت یابی همبسته زیرفضایی() ۶۲
۳-۳-۱۶- روش ماتریس تمرکز قطری ۶۲
۶۴
۳-۳-۱۸- استفاده از ماتریس کانونی در روش ۶۶
۳-۳-۱۹– روش وزن دهی متوسط به زیر فضاهای سیگنال() ۶۷
۴-۱- مقدمه ۷۰
۴-۲- مفاهیم پایه ۷۰
۴-۳- ارائه یک مدل ریاضی ۷۱
۴-۴- توسعه الگوریتم به فضای چند بعدی ۷۶
۴-۵- تصویر در راستای زیرفضای سیگنال ۷۸
۴-۶- الگوریتم محاسبه ۸۰
۴-۶-۱- پیچیدگی محاسبات ۸۱
برای آرایه های خطی ۸۳
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))
۵-۱- مقدمه ۸۴
۵-۲- الگوریتم های تخمین ۸۴
۵-۲-۱- معرفی اجمالی الگوریتم های به کار رفته در شبیه سازی ۸۴
۵-۲-۱-۱- بررسی الگوریتم MUSIC و Capon 85
۵-۲-۱-۲- الگوریتم همبستگی زیرفضای سیگنال() ۸۶
۵-۲-۱-۳- ماتریس زیرفضای کانونی سیگنال () ۸۸
۵-۲-۱-۳-۱- الگوریتم محاسبه روش ۸۹
۵-۲-۱-۳-۲-نکات مهم در محاسبه تخمین به روش ۹۰
۵-۳- مدل سازی داده ها ۹۱
۵-۳-۱- خصوصیات منبع سیگنال ارسالی ۹۱
۵-۳-۲- مفروضات داده های دریافتی توسط آرایه آنتن ۹۲
۹۲
۵-۴-۱- سناریوی شماره ۱ ۹۲
فصل ششم: نتیجهگیری و پیشنهادات
۶-۱- نتیجهگیری ۱۲۲
۶-۲- پیشنهادات ۱۲۳
مراجع ۱۲۱
فهرست جداول
عنوان صفحه
جدول شماره (۵-۱)– مبنای شبیه سازی ۹۲
۹۳
فهرست تصاویر
عنوان صفحه
شکل ۱-۱- مختصات کروی ۶
شکل ۱- ۴- پردازش سیگنال در آرایه ای ازآنتن ها شامل آنتن ۱۳
شکل ۲-۱- هندسه آرایه ۲۴
شکل ۲-۲- نمایش آرایه ها برای الگوریتم ۲۵
۲۹
۲۹
شکل ۲-۵- آرایه خطی ۳۲
شکل ۲-۶- نمونه برداری فضایی از سیگنال ارسالی توسط آرایه خطی از آنتن ها ۳۳
شکل ۳-۱- الف – آرایه خطی ۴۵
شکل ۳-۱- ب آرایه دایره ای ۴۶
شکل ۳-۲- الگوی پرتودهی در روش کاپون به ازای منبع ارسالی ۰db در بین فرکانسی ۱۵۰ هرتز و دریافتی توسط آرایه ای از ۲۰ سنسور ۴۹
۵۰
۹۴
۹۴
۹۵
۹۶
۹۷
۹۷
۹۸
۹۸
۹۹
۹۹
۱۰۰
۱۰۰
۱۰۱
۱۰۱
۱۰۲
۱۰۲
۱۰۳
۱۰۳
۱۰۴
۱۰۴
۱۰۵
۱۰۵
۱۰۶
۱۰۶
۱۰۷
۱۰۷
۱۰۸
۱۰۸
۱۰۹
۱۰۹
۱۱۰
۱۱۰
۱۱۱
۱۱۱
۱۱۴
۱۱۵
۱۱۵
۱۱۶
۱۱۶
۱۱۷
۱۱۷
۱۱۸
۱۱۸
۱۱۹
چکیده:
جهت یابی سیگنالهای پهن باند
DOA Estimation for Wideband Signals
یکی از مهمترین کاربردهای آرایه ها، تحمین جهت یابی سیگنالهای انتشار یافته درمحیط می باشد. بسیاری از روشهای جهت یابی از دیرباز مورد استفاده قرار میگیرند که به مرور زمان تغییراتی در آنها صورت گرفته است. بسته به شرایط محیط، ممکن است یکی از روشهای جهت یابی عملکرد بهتری نسبت به سایر روشها داشته باشد. نکتهای که مطرح است اینکه اغلب روشهای جهت یابی برای سیگنالهای باریک باند طراحی شده اند. در عمل ممکن است سیگنالهایی که در محیط وجود دارند یا پهن باند باشند و یا اینکه در بینهای فرکانسی مختلفی قرار داشته باشند.یکی از متداول ترین روشها در جهت یابی سیگنالهای پهن باند این است که سیگنال پهن باند را به بینهای مختلف فرکانسی تفکیک نموده و سپس پردازشهای لازم را در حوزه فرکانس انجام دهیم. بر این اساس روشهای مختلفی برای جهت یابی سیگنالهای پهن باند بیان شده است.در برخی از روشها جهت یابی هر بین فرکانسی به صورت مستقل از سایر بینها پردازش می گردد، که به روشهای ناهمبسته مشهور هستند. برخی دیگر از روشها اطلاعات بینهای مختلف فرکانسی را به صورتی با یکدیگر ترکیب می کند و سپس جهت یابی را انجام میدهد (روشهای همبسته). مشکل بزرگ روشهای همبسته این است که بایستی در ابتدا تخمین اولیهای از زوایای ورود منابع داشته باشیم. برخی از روشها نیز هستند که ماهیت آنها متفاوت از روشهای همبسته و ناهمبسته است و میتوان گفت حالت بین این دو روش هستند. از جمله این روشها میتوان به TOPS[1] اشاره کرد. که برای رفع مشکل تخمین اولیه زوایا در روشهای همبسته معرفی شده است.هدف از این پایان نامه بررسی روش های مختلف جهت یابی سیگنالهای پهن باند و مقایسه نحوه عملکرد هر یک می باشد.
مقدمه:
در این فصل از پایان نامه مطالبی به اختصار در جهت آشنایی با مفاهیم پایه میدانهای الکترومغنطیسی، روشهای مختلف جهت یابی برای سیگنالهای باند باریک معرفی گردیده و مزایا و چالشهای اجرا هر یک از این الگوریتمها مورد بررسی قرار میگیرد. (فصل اول و دوم)
یکی از موارد بسیار مهم جهت یابی سیگنالها، کاربرد آن در جهت دهی بین تشعشعی آنتنها به منظور ایجاد حداکثر توان ممکن در جهت هدف میباشد همچنین به منظور جهت یابی اهداف در ابتدا میبایست زاویه ورود هر سیگنال را به آرایه مشخص نمود. با بهره گرفتن از مفاهیم و روشهای مطرح شده برای سیگنالهای باند باریک و توسعه آن بر اساس سیگنالهای باند پهن در فصل سوم به معرفی اگوریتم های مختلف باند پهن ودسته بندی آن پرداخته خواهد شد. یکی از متداول ترین روشها در جهت یابی سیگنالهای پهن باند این است که سیگنال پهن باند را به بینهای مختلف فرکانسی تفکیک نموده و سپس پردازشهای لازم را در حوزه فرکانس انجام دهیم. بر این اساس روشهای مختلفی برای جهت یابی سیگنالهای پهن باند بیان شده است.در برخی از روشها جهت یابی هر بین فرکانسی به صورت مستقل از سایر بینها پردازش می گردد، که به روشهای ناهمبسته مشهور هستند. برخی دیگر از روشها اطلاعات بینهای مختلف فرکانسی را به صورتی با یکدیگر ترکیب می کند و سپس جهت یابی را انجام میدهد (روشهای همبسته). مشکل بزرگ روشهای همبسته این است که بایستی در ابتدا تخمین اولیهای از زوایای ورود منابع داشته باشیم. برخی از روشها نیز هستند که ماهیت آنها متفاوت از روشهای همبسته و ناهمبسته است و میتوان گفت حالت بین این دو روش هستند(فصل چهارم). از جمله این روشها میتوان به TOPS[2] اشاره کرد [۱۶] که برای رفع مشکل تخمین اولیه زوایا در روشهای همبسته معرفی شده است. در فصل آخر با بهره گرفتن از شبیه سازی متلب الگوریتم های همبسته ونا همبسته، را پیاده سازی نموده و نتایج و چالش های مطرح شده را مورد بررسی قرار خواهیم داد.
فصل اول
اصول انتشار امواج
۱-۱- مقدمه
در این فصل به صورت خلاصه خروجی آنتن های آرایه ای را پردازش خواهیم نمود. بر این اساس ابتدا میدان انتشار اسکالر[۳] آنتن های آرایه ای را توضیح داده و سپس به معرفی سیگنال های باند باریک خواهیم پرداخت و در انتها مدل آرایه ای آنتن ها را در انتقال سیگنال های با پهنای باند گسترده (سیگنال پهن باند) تعریف خواهیم نمود.
۱-۲- انتشار امواج
همان طور که می دانیم بر اساس معادله ماکسول تابع انتشار موج متغیری از زمان و مکان می باشد. لذا معادله موج سیگنال های الکترو مغناطیسی با توجه به معادله ماکسول به صورت زیر تعریف می گردد:
(۱-۱)
که در آن شدت میدان الکتریکی، سرعت انتشار موج، عملگر لاپلاسین
(۱- ۲)
و بردار مکان تعریف می گردد. پس از اعمال به عنوان میدان اسکالر عمومی، معادله سیگنال موج ارسالی در لحظه t و موقعیت مکانی بر اساس معادله زیر محاسبه می گردد :
(۱- ۳)
که جواب معادله دیفرانسیلی بالا (شکل موج دریافتی) معمولاً به شکل زیر بیان می گردد:
(۱- ۴)
با جایگذاری معادله (۱-۴) در معادله (۱-۳) عبارت زیر حاصل می گردد:
(۱- ۵)
به ازای کلیه مقادیر ,, که در معادله بالا صادق باشد، جواب معادله موج را می توان به شکل قطبی زیر نمایش داد.
(۱- ۶)
که در آن را بردار عدد موج و تابع نمایی را تابع صفحه موج تک رنگ[۴] می نامند. میدان اسکالر را می توان به صورت ترکیب تمامی صفحه های موج برای تمامی فرکانس ها به صورت آن چه در ادامه آمده است، بیان نمود[۱]:
(۱- ۷)
که در آن
(۱- ۸)
و با توجه به این که
(۱- ۹)
طبق رابطه (۱- ۵) نتیجه می شود:
(۱- ۱۰)
و مقدار فاز در رابطه (۱- ۶) به صورت زیر خواهد بود:
(۱- ۱۱)
معمولاً جهت و سرعت انتشار، با بردار (بردار آهستگی[۵]) معرفی می گردد. با توجه به روابط بالا واضح است که اندازه بردار برابر با عکس سرعت انتشار می باشد. با بهره گرفتن از مختصات کروی مطابق شکل (۱-۱)
می توان را به صورت زیر نمایش داد:
(۱- ۱۲)
با جایگذاری رابطه بالا در معادله مکان – زمان، تابع انتشار سیگنال به صورت زیر به دست می آید:
(۱- ۱۳)
کهS() تبدیل فوریه تابع می باشد.
x
y
z
شکل ۱-۱- مختصات کروی
با توجه به این که تابعی از ۴ متغیر می باشد، می بایست تبدیل فوریه چهار بعدی
گرفته شود. بنابراین تبدیل فوریه تابع سیگنال ارسالی به صورت زیر تعریف می گردد:
(۱- ۱۴)
و میدان موج در راستای محور یعنی به صورت زیر محاسبه می گردد:
(۱- ۱۵)
۱-۳-سنسورهای آرایه ای
هنگامی که آرایه ای از سنسورها در نقاط مختلفی پخش شده باشد، به طور هم زمان سیگنال های ارسالی توسط سنسورها نمونه برداری و ثبت می گردد. به بیان دیگر، سیگنال های آرایه شامل سیگنال های
انتشار یافته و نمونه برداری شده (فضایی و زمانی) توسط هر سنسور می باشد. سیگنال دریافتی توسط سنسور شماره را می توان به وسیله بردار (مکان سنسور ) نمایش داد. هنگامی که تعداد منبع ارسال سیگنال در جهت متفاوت موجود باشد، آنگاه سیگنال نمونه برداری شده در سنسور ام به شکل زیر خواهد بود:
(۱- ۱۶)
در این رابطه نویز جمع شونده در سنسور ام می باشد. فرض بر این است که نسبت به سیگنال ارسالی ناهمبسته و از نظر فضایی و زمانی یک فرایند سفید باشد (نویز سفید و ناهمبسته نسبت به منبع موج ارسالی). حتی در صورتی که فرایند نویز سفید نباشد، با مشخص بودن ماتریس کوواریانس آن
می توان فرایند را سفید نمود. به طور خلاصه سیگنال دریافتی در هر سنسور چیزی به جز مجموع سیگنال منبع ارسال موج که به علت فاصله سنسورها با اختلاف زمانی متفاوت از یکدیگر ایجاد می گردد، نیست. از نقطه نظر گیرنده، پارامترهایی که می بایست تخمین زده شود، شامل تعداد منابع تولید کننده سیگنال()، نوع سیگنال ارسالی، زاویه افقی ورود سیگنال و زاویه فراز می باشد.
موضوع اصلی این پایان نامه، تخمین زاویه و زاویه است با این فرض که تعداد منابع ارسال سیگنال یا مشخص است و یا درست تخمین زده شده باشد ( معلوم می باشد).
۱-۴- پردازش سیگنال آرایه خطی
در این بخش موضوعات مربوط به پردازش سیگنال و روش های مورد استفاده برای تخمین جهت سیگنال دریافتی توضیح داده خواهد شد.
۱-۴-۱- فرضیات پایه:
۱-۴-۱-۱- میدان دور
هنگامی که فاصله بین منبع ارسال سیگنال تا گیرنده نسبت به ابعاد سنسور آرایه بسیار بزرگ باشد، سیگنال دریافتی توسط سنسورها به صورت میدان صفحه ای مفروض خواهد بود. با این فرض زاویه مشاهده سیگنال هر منبع نسبت به کلیه سنسورها یکسان می گردد. برای درست بودن فرض بالا می بایست شرایط ناحیه فرونهافر[۶] برقرار باشد[۳]:
(۱- ۱۷)
که قطر کوچکترین کره در بر گیرنده کل آرایه و فاصله از منبع می باشد.
۱-۴-۱-۲- سیگنال باند باریک
سیگنال ارسالی با فرکانس حامل و تابعی از زمان به شکل زیر معرفی می گردد:
(۱- ۱۸)
و به ترتیب دامنه و فاز تابع می باشد. اگر را زمان تاخیر انتشار بین سنسورها در نظر بگیریم، در صورتی که و نسبت به تغییرات بسیار جزئی داشته باشد، (اصطلاحاً تغییرات کندی نسبت به داشته باشد) روابط زیر را خواهیم داشت :
(۱- ۱۹)
(۱- ۲۰)
پس طبق روابط بالا انتقال زمانی تابع به شکل زیر در می آید:
(۱-۲۱)
بنابراین با بهره گرفتن از اعداد مختلط، شیفت زمانی را می توان به صورت حاصل ضرب یک عدد مختلط با فاز ثابت نمایش داد.
۱-۴-۱-۳- ایستائی[۷]
یکی دیگر از فرضیات پایه به صورت زیر بیان می گردد:
اطلاعات دریافتی توسط آرایه آنتن دارای خاصیت ایستایی ضعیف می باشد. در عمل، فرض ایستایی ضعیف در محاسبه ماتریس کوواریانس داده های دریافتی، مورد استفاده قرار می گیرد. برای این که سیگنال دریافتی دارای خاصیت ایستایی ضعیف باشد، در هنگام نمونه برداری از داده ها، می بایست منابع ارسال سیگنال و سنسورهای دریافت کننده بدون شتاب باشند.
۱-۴-۱-۴- سیگنال های چندگانه
اگر چندین سیگنال از منابع متفاوت توسط آرایه سنسورها دریافت گردد، این سیگنال ها می بایست از نظر زمانی[۸] نسبت به هم ناهمبسته[۹]بوده و یا به عبارت دیگر ناهمبسته زمانی[۱۰] باشند.
۱-۴-۱-۵- نویز (Noise)
فرض بر این است که نویز موجود در داده های اندازه گیری شده نسبت به سیگنال های ارسالی، ناهمبسته زمانی هستند. هم چنین نویز دریافتی دارای میانگین صفر بوده و از لحاظ زمانی و فضایی، فرآیندی سفید و نسبت به زمان و مختصات فضایی ناهمبسته می باشد.-
۱-۵- تبدیل مکان – زمان[۱۱]
در سیگنال های زمانی، اطلاعات از طریق تغییر سیگنال در حوزه زمان انتقال پیدا می کند. برای چنین سیگنال هایی تبدیل فوریه متداول به صورت زیر تعریف می گردد:
(۱- ۲۲)
(۱- ۲۳)
که ، معرف سیگنال در حوزه زمان و تبدیل فوریه آن در حوزه فرکانس می باشد. درحالت کلی موج سیگنال تابعی از مکان و زمان است. تابع سیگنال در حوزه مکان– زمان[۱۲] به صورت نشان
می دهند که در آن پارامتر مکان و t پارامتر زمان است. تبدیل فوریه سیگنال مکان- زمان به شکل زیر تعریف می گردد:
(۱- ۲۴)
که مختصات بردار مکانی و بردار عدد موج[۱۳]بوده و به صورت زیر قابل تعریف است:
(۱- ۲۵)
در رابطه فوق سرعت جبهه موج و بردار واحد نرمال در جهت انتشار جبهه موج می باشد. تبدیل فوریه معکوس نیز به شکل زیر تعریف می گردد:
(۱- ۲۶)
که، و المان های در مختصات دکارتی تعریف می گردد. هم چنین به نام فرکانس های فضایی و یا اعداد موج[۱۴] شناخته می شود.
زوج تبدیل فوریه (۱- ۲۴) و (۱- ۲۶) یک رابطه دوگانی در حوزه زمان و مکان را نسبت به پارامترهای وابسته به آن نمایش می دهد. در واقع زمان و فرکانس دارای خاصیت دوگانی با فضا و عدد موج می باشد. اندازه بردار عدد موج دارای خاصیت دوگانی با فرکانس زاویه ای بوده و هم چنین دوره تناوب سیگنال زمانی دوگان طول موج می باشد. بنابراین:
(۱- ۲۷)
(۱- ۲۸)
علامت اندازه بردار را نشان می دهد. پردازش سیگنال در حوزه مکان با بهره گرفتن از آرایه ای از سنسورها صورت می پذیرد. پردازش سیگنال در حوزه مکان (پردازش فضایی) دوگان پردازش فیلتر در حوزه زمان می باشد. برای اطلاعات بیشتر در رابطه با تشابه پردازش زمانی و مکانی می توان به منبع مراجعه کرد
(. Array Processing and FIR Filtering)
۱-۶- سیگنال های تصادفی[۱۵]
در بسیاری از کاربردها، سیگنال دریافتی، ذاتاً دارای توزیع تصادفی بوده و یا خود سیگنال ثابت می باشد و پس از انتقال از کانال و سیستم های واسطه با یک سیگنال تصادفی جمع می گردد. در چنین مواردی
نمی توان از فیلتر وفقی[۱۶]برای آشکارسازی استفاده نمود. بسته به نوع کاربرد سیگنال تصادفی ازمدل های مختلفی برای شبیه سازی آن استفاده می گردد. ولی معمولاً فرض بر این است که نمونه های دریافتی از سیگنال دارای تابع توزیع احتمال[۱۷] گوسی با میانگین صفر می باشد. این فرض به میزان قابل توجهی در بسیاری از کاربردها قابل قبول است. چون سیگنال ارسالی از ترکیب تعداد بسیار زیادی منابع تصادفی مستقل از هم حاصل می گردد. تنها محدودیت اعمال شده توسط این فرض، گوسی بودن تابع توزیع سیگنال است. گشتاور دوم سیگنال های گوسی برای بیان خصوصیت تابع توزیع احتمال کافی بوده و سایرگشتاورهای بعدی آن یا صفر بوده و یا از روی گشتاور دوم[۱۸] قابل محاسبه است.
تابع همبستگی یک سیگنال تصادفی به صورت
(۱- ۲۹)
تعریف می گردد. که این تابع دارای هشت متغیر (دو متغیر زمان و و شش متغیر مکان می باشد. اگر سیگنال در حوزه زمان همگن[۱۹] باشد، تابع همبستگی در حوزه زمان تابعی از تغییرات می گردد. برای این سیگنال، چگالی طیف متقابل[۲۰] به صورت زیر تعریف می گردد:
(۱- ۳۰)
اگر سیگنال در حوزه مکان(مختصات فضایی) نیز همگن باشد، تابع همبستگی وابسته به تفاضل پارامتر می گردد (همبستگی تابعی از و به شکل است). در این حالت چگالی طیف فرکانس – عدد موج[۲۱]برای این سیگنال به صورت زیر قابل تعریف می باشد:
(۱- ۳۱)
که در حقیقت تبدیل فوریه تابع همبستگی در حوزه زمان و مکان است. طیف فرکانس– طول موج در واقع تبدیل تابع سیگنال در حوزه زمان – مکان[۲۲] به پارامترهای معادل سیگنال در حوزه فرکانس- طول موج
می باشد. در ادامه چند حالت مهم برای این تابع معرفی می گردد.
برای منبع نقطه ای در حالت سیگنال باند باریک، طیف سیگنال می تواند به صورت زیر معرفی گردد:
(۱- ۳۲)
که تابع دلتای دیراک[۲۳] می باشد که نمایش آن در حوزه فرکانس – عدد موج[۲۴] به صورت یک نقطه (مطابق شکل ۱-۳A) در می آید. باید به این نکته توجه کرد که شکل (۱- ۳) به صورت نمادین بوده چرا که عدد موج به صورت یک بردار سه بعدی در راستای تعریف می گردد.
در بعضی از کاربردها سیگنال تولید شده، در واقع یک سیگنال پهن باند است که توسط یک منبع نقطه ای[۲۵] ایجاد گردیده و طیف آن را می توان به شکل
(۱- ۳۳)
بیان کرد. به عنوان مثال شکل (۳-۱B) دو منبع پهن باند نقطه ای با دو عدد موج متفاوت و دارای پهنای باند یکسان را نمایش می دهد.
عدد موج
شکل ۱- ۳- مشخصات منابع بر اساس فرکانس موج ارسالی و عدد موج مربوطه در حوزه فرکانس – عدد موج
هم چنین سیگنال ها می توانند در حوزه مکان (فضا) گسترده شده باشند (توزیع شده باشند[۲۶]). به عنوان مثال دو سیگنال باند باریک گسترده در فضا در شکل ۱- ۳C نمایش داده شده است. این دو سیگنال دارای فرکانس یکسان و گستره عدد موج متفاوت می باشند. به طور کلی می توان این سیگنال را به صورت زیر نمایش داد:
(۱- ۳۴)
هنگامی که دو سیگنال زمانی، هیچ گونه تداخل فرکانسی نداشته باشند[۲۷]، به وسیله یک فیلتر میان گذرمی توان این دو سیگنال را از هم جدا نمود. به طور مشابه می توان همین روش را در حوزه فضا به کار برد. بدین صورت که اگر دو سیگنال دارای اعداد موج متفاوتی باشند، با بهره گرفتن از فیلتر فضایی[۲۸] می توان آن دو را تفکیک نمود. شایان ذکر است، فیلتر فضایی را می توان به وسیله آرایه ای از آنتن ها با تنظیم فاصلهبین سنسورها بر اساس تنظیم نمود(مطابق شکل ۱- ۴).
شکل ۱- ۴- پردازش سیگنال در آرایه ای ازآنتن ها شامل آنتن
در حقیقت با بهره گرفتن از آرایه ای از سنسورها می توان سیگنال های با باند فرکانسی یکسان که از منابع متفاوت با جهت های مختلف انتشار یافته اند را تفکیک نمود.
همان طور که می دانیم دامنه و فاز سیگنال دریافتی در هر سنسور (آنتن) تابعی از زاویه ورود سیگنال ارسالی از منبع نسبت به مکان قرارگیری سنسور در فضا (نسبت به نقطه مرجع) است. پس از پردازش خروجی کلیه آنتن ها می توان موقعیت فضایی سیگنال را محاسبه نمود (مثلاً زاویه ورود هر سیگنال را به دست آورد) در فصل بعد چند روش پردازش معرفی خواهد گردید.
فصل دوم
روش های پردازش سیگنال های باند باریک
۲-۱-مقدمه
با توجه به این که پایه بسیاری از روش های شکل دهی پرتو، تخمین اولیه زاویه ورود سیگنال است، از این رو قبل از اعمال تکنیک های وفقی، لازم است زاویه ورود سیگنال ها به آرایه را تعیین کرد. در نتیجه تخمین زاویه ورودی امواج تشعشع یافته از اهمیت زیادی برخوردار می باشد. برای تخمین زاویه ورود، الگوریتم های مختلفی پیشنهاد شده اند که در این جا به تشریح اهم آن ها پرداخته خواهد شد. در مجموع دو روش کلی برای تخمین زاویه ورود سیگنال، وجود دارد:
- روش های مبتنی بر پایه طیف
- روش های پارامتریک
۲-۲-روش های مبتنی بر پایه طیف
در روش های مبتنی بر پایه طیف، طیف سیگنال بر حسب پارامتری به نام مثلاً زاویه دریافتی (نه فرکانس) رسم می شود و بر اساس منحنی به دست آمده، محل پیک منحنی، نمایانگر مکان زاویه ای سیگنال یا زاویه ورود سیگنال است. روش های طیفی خود به دو دسته کلی تقسیم می شوند:
- روش های شکل دهی پرتو
- روش های مبتنی بر زیرفضا
۲-۳-روش های شکل دهی پرتو
این روش ها به طور کلی بر این اساس شکل گرفته اند، که با وزن دهی مناسب عناصر آرایه، زاویه پرتو آرایه را در فضا می چرخانیم و در هر زاویه ای که توان دریافتی، بیشینه می شود، بیانگر وجود منبع در آن زاویه خواهد بود. دو روش اصلی مبتنی بر این امر، عبارتند از:
- روش شکل دهی پرتو متعارف
- روش کاپون
۲-۳-۱-روش شکل دهی پرتو متعارف[۲۹]
این روش، به روش بارتلت[۳۰] نیز معروف است . در این روش توان دریافتی، بدین صورت محاسبه می گردد که در واقع با جاروب کردن یا زاویه ورود موج، مقدار پیک توان را یافته و زاویه ورود را بر این اساس تخمین می زنند.
در واقع سعی بر این است که در هر لحظه جهت دهی پرتوها در یک مسیر خاص صورت پذیرفته و توان خروجی در آن مسیر محاسبه گردد. بر این اساس جهتی که در آن بیشترین توان حاصل شود، یکی از مسیرهای ارسال سیگنال منبع خواهد بود. در روش مذکور به منظور جهت دهی پرتو از یک رابطه خطی به شرح ذیل برای دریافت خروجی استفاده خواهد شد:
(۲- ۱)
فرض کنیم که جهت سیگنال ارسالی، و تابع جهت دهی پرتو بهینه، بردار باشد که توان خروجی را حداکثر می نماید، در این صورت روابط زیر قابل تعریف خواهد بود:
(۲- ۲)
که در آن بردار نویز به عنوان نویز سفید گوسی جمع شونده با میانگین صفر و واریانس و مستقل از سیگنال ارسالی تعریف می گردد. در این حالت توان خروجی با جایگذاری معادله (۲- ۱) در معادله (۲- ۲) به صورت زیر قابل محاسبه خواهد بود:
(۲- ۳)
که ماتریس خود همبستگی بردار خروجی آرایه ای آنتن است. به منظور حداکثر نمودن توان خروجی، با فرض و با توجه به نامساوی کوشی شوارتز داریم:
(۲- ۴)
بنابراین مقدار بردار وزن دهی بهینه بر اساس رابطه بالا برابر با عبارت ذیل است:
(۲- ۵)
با جایگذاری در فرمول توان، توان ماکزیمم برابر با عبارت زیر خواهد شد:
(۲- ۶)
حداکثر مقدار عبارت بالا به ازای حاصل می گردد. در حالت کلی با این روش تخمین زاویه ورود با حداکثر مقدار طیف فضایی برابر خواهد بود:
(۲- ۷)
که در آن ماتریس خودهمبستگی بردار خروجی می باشد. باید توجه داشت زمانی که تعداد منابع بیشتر از یک منبع و فاصله آن ها کم باشد، خروجی این روش دقیق و قابل استناد نخواهد بود. این روش در صورت وجود تنها یک منبع، خروجی صحیح ارائه خواهد داد. بنابراین به طور کلی مشکل اصلی این روش از قرار زیر است:
- حتی به ازای بالا، با این روش نمی توان دو سیگنال با زاویه نزدیک به هم را تفکیک نمود
- این روش برای مواقعی که منابع همبسته هستند نیز، پاسخ صحیحی ارائه نمی دهد.
۲-۳-۲- روش کاپون
برای رفع مشکل مطرح شده در بخش قبل و ایجاد توانایی تخمین چند زاویه ورود که از پهنای اشعه متعارف آنتن به هم نزدیک تر هستند، می توان از روش کاپون استفاده نمود. این روش شاید معروف ترین روش کلاسیک برای تخمین زاویه ورود سیگنال باشد.
فرض کنید خروجی المان های آرایه توسط وزن های زیر ترکیب می شوند:
(۲- ۸)
در این رابطه که جهت دید آنتن بوده و . مکان قرارگیری المان های آرایه روی محور ها می باشد که بر مبنای طول موج اندازه گیری شده است. زمانی که بر که همان جهت ورود سیگنال منبع می باشد، منطبق شود، سیگنال های دریافتی، فازهای همدیگر را جبران و به صورت همدوس[۳۱] با هم جمع می شوند. از این رو سیگنال اصلی، در جهت دید تقویت
می شود، در حالی که سیگنال های ناخواسته دیگر همچون نویز، تقویت نخواهند شد. در این صورت توان خروجی آرایه به صورت زیر محاسبه خواهد گردید:
(۲-۹)
که در آن ماتریس همبستگی سیگنال های دریافتی از آرایه های آنتن می باشد. ایده اصلی روش کاپون (یا روش حداقل واریانس[۳۲])، استخراج طیف زاویه ای از سیگنال های دریافتی با حداقل نمودن توان یا واریانس خروجی آرایه وفقی برای هر جهت دید، است، تحت این شرط که بهره آنتن در جهت دید برابر با یک باشد. بنابراین اگر، طیف فضایی را به صورت توان خروجی تخمین بزنیم، با حل مسئله فوق، خواهیم داشت:
(۲- ۱۰)
که در آن بردار جهت دهی آرایه[۳۳] برای چرخاندن پرتو اصلی در زاویه تعریف می گردد. هم چنین یک عدد ثابت می باشد. محدودیت توان در جهت دید، به صورت زیر قابل محاسبه خواهد بود:
(۲- ۱۱)
با توجه به دو رابطه بالا، به صورت زیر اختیار می گردد.
(۲- ۱۲).
در این شرایط، توان خروجی آرایه برابر با مجموعه ای از سیگنال های مطلوب و نامطلوب خواهد بود. این ویژگی، تفکیک پذیری جهت دهنده های متعارف را محدود می نماید. در روش کاپون، سعی بر این است که با فرض ثابت بودن توان سیگنال در جهت زاویه دید مورد نظر، توان خروجی کل آنتن حداقل گردد،که در واقع باعث کاهش سیگنال های نامطلوب خواهد شد.
بر این اساس با بهره گرفتن از رابطه (۲-۹) و با فرض مقدار بهینه رابطه زیر می بایست محاسبه گردد:
(۲-۱۳)
در صورتی که ماتریس کوواریانس، مثبت معین[۳۴] باشد، جواب معادله فوق به شکل زیر حاصل می گردد:
(۲-۱۴)
به این ترتیب با جایگذاری رابطه (۲-۱۴) در رابطه (۲-۹)، میزان توان خروجی آنتن به صورت زیر محاسبه خواهد گردید:
(۲-۱۵)
با محاسبه نقطه ماکزیمم تابع توان طیف فضایی بالا، مقادیر مورد نظر با بهره گرفتن از روش کاپون
به دست می آید. شایان ذکر است، با وجود این که روش کاپون عملکرد بهتری نسبت به روش جهت دهی متعارف دارد، اما باز هم نحوه عملکرد آن به میزان قابل توجهی تحت تاثیر تعداد المان های آنتن و سیگنال ورودی می باشد. هم چنین این روش برای محاسبه منابع همبسته تولید کننده سیگنال مناسب
نمی باشد.
۲-۳-۳- روش های مبتنی بر زیر فضا
این روش ها به طور کلی بر مبنای مقادیر ویژه و بردارهای ویژه بنا شده اند. در این روش در واقع ماتریس کوواریانس مشاهده به دو زیر فضای عمود بر هم به نام های زیرفضای سیگنال و زیرفضای نویز تقسیم
می گردد. اگر منابع ارسال سیگنال نا همبسته باشند، ماتریس کوواریانس منابع، رتبه کامل دارد اما در بیشتر کاربردها منابع ارسال سیگنال همبسته می باشند که باعث کاهش رتبه ماتریس می گردد. فرض کنیم که ماتریس منابع دارای رتبه باشد، پس ماتریس به شکل زیر قابل تعریف خواهد بود:
(۲-۱۶)
به سادگی می توان نشان داد که هر برداری که جز فضای صفر[۳۵] ماتریس باشد یکی از بردارهای ویژه ماتریس بوده که با مقدار ویژه متناظر می باشد. همان طور که قبلاً گفته شد، می بایست مرتبه کامل داشته باشد تا جواب های به دست آمده برای یکتا باشد. بنابراین دارای رتبه بوده و کوچکترین مقدار ویژه ماتریس از مرتبه است.
فرض می کنیم مقادیر ویژه ماتریس کوواریانس بوده، که به صورت نزولی مرتب گردیده اند و بردارهای ویژه متناظر با آن می باشد. تجزیه ماتریس کوواریانس طیف خروجی به صورت ذیل حاصل می گردد:
(۲-۱۷)
(۲-۱۸)
(۲-۱۹)
(۲-۲۰)
(۲-۲۱)
در روابط بالا یک ماتریس قطری شامل بزرگترین مقادیر ویژه کوواریانس بوده که مقادیر ویژه متناظر با سیگنال ارسالی می باشد و از یکدیگر مستقل هستند. در حقیقت، زیرفضای سیگنال های ارسالی توسط بردارهای ویژه ی متناظر با این مقادیر ویژه، گسترش می یابند. بنابراین برد زیر فضای سیگنال و برد زیرفضای نویز بوده که هم چنین بر یکدیگر عمود می باشند (). خاصیت عمود بودن[۳۶] بیان
می دارد که برد فضای که از رتبه[۳۷] می باشد، زیرمجموعه ای از برد فضای است و اگر ماتریس کوواریانس منابع از مرتبه کامل باشد ، آن گاه این زیرفضاها با یکدیگر برابر خواهند بود.
از اولین روش های بکار برده شده مبتنی بر زیرفضا می توان به روش ، اشاره نمود. در این الگوریتم فرض بر است که سیگنال دلخواه در زیر فضایی کوچکتر از کل فضای در برگیرنده سیگنال ورودی قرار دارد. در ادامه به معرفی این روش پرداخته خواهد شد.
۲-۳-۴-معرفی روش [۳۸]
یکی از مشهورترین روش های تشخیص به وسیله تجزیه زیرفضاها، نام دارد که ایده اصلی آن برمبنای این است که فضای تولید شده توسط بردارهای ویژه ماتریس هدایت[۳۹] با فضای گسترده شده توسط بردارهای ویژه یکسان می باشد. به بیان دیگر با پیدا کردن اشتراک بین ماتریس هدایت و زیرفضای سیگنال می توان تخمینی از را به دست آورد. در عمل ماتریس نامعلوم بوده و فقط نمونه هایی از این ماتریس در دسترس می باشد که آن را با نمایش می دهیم و می توان آن را به وسیله میانگین گیری از نمونه برداری مستقل محاسبه نمود:
(۲-۲۲)
که می توان آن را به صورت زیر تجزیه نمود:
(۲-۲۳)
که و به ترتیب تخمین فضای سیگنال و تخمین فضای نویز می باشند. با توجه به توضیحات مذکور خواهیم داشت:
(۲-۲۴)
بر این اساس عبارت زیر برقرار خواهد بود:
(۲-۲۵)
با توجه به رابطه مذکور، فاصله اقلیدسی بردار از فضای به شکل زیر تعریف می گردد:
(۲-۲۶)
با پیدا کردن به ازای که رابطه بالا را مینیمم می نماید، می توان
های مورد نظر را تخمین زد و یا این که به منظور ساده تر نمودن روش به دست آوردن پاسخ، ماکزیمم تابع را محاسبه نمود. با توجه به توضیحات مذکور،طیف مکانی به شکل زیر تعریف
می گردد:
(۲-۲۷)
باید توجه نمود که در روش می بایست منابع سیگنال نسبت به یکدیگر ناهمبسته باشند. هم چنین جهت انجام محاسبات به تعداد قابل توجهی نمونه با قابل قبول نیاز است. به علاوه زاویه ورود منابع نباید به یکدیگر زیاد نزدیک باشد. در صورتی که سیگنال دریافتی کم بوده و یا زاویه منابع به یکدیگر نزدیک و منابع دارای همبستگی باشند، دیگر شرایط عمود بودن[۴۰] فراهم نبوده و خروجی الگوریتم دارای خطای بالایی خواهد بود.
۲-۳-۵- الگوریتم [۴۱]
همان گونه که قبلاً توضیح داده شد، یکی از مشهورترین روش های محاسبه ، استفاده از روش است. اصول کار این روش بر مبنای تجزیه زیرفضاها پایه گذاری شده است. ایده اصلی این الگوریتم محاسبه ماتریس وزن دهی در راستای زیرفضای بردارهای ویژه سیگنال ارسالی “” می باشد. در واقع ماتریس کوواریانس را می توان به صورت ترکیبی از زیرفضای سیگنال و زیرفضای نویز در نظر گرفت.
با در نظر گرفتن مدل ارائه شده در بخش ۲-۳ و با فرض نویز غیر همبسته گوسی با توان قطری (که در آن ماتریس واحد می باشد) معادله (۲-۱۶) به شکل زیر قابل برگردان خواهد بود:
(۲-۲۸)
که در آن، با فرض ناهمبستگی منابع، ماتریس غیرمنفرد[۴۲] با رتبهمیباشد .
فرض کنید که تعداد منابع ارسال سیگنال مشخص و برابر با بوده و تنها پارامتر مجهول، محاسبه زاویه ورود سیگنال به آرایه یعنی باشد. بر این اساس در روش ، ماتریس خودهمبستگی به صورت ترکیبی از مقادیر ویژه و بردارهای ویژه زیرفضایی آن تجزیه گشته و به شکل زیر نمایش داده می شود:
(۲-۲۹)
در رابطه فوق نشان دهنده بردارهای ویژه ماتریس و نشان دهنده مقادیر ویژه آن می باشد.
(۲-۳۰)
(۲-۳۱)
که در آن () و ماتریس قطری به صورت نزولی مرتب گردیده است.
با توجه به خصوصیات مقادیر ویژه و بردارهای ویژه، رابطه زیر مشهود می باشد():
() (۲-۳۲)
(۲-۳۳)
با توجه به رابطه (۲-۳۲)و (۲-۳۳) نتیجه زیر حاصل می گردد:
(۲-۳۴)
با توجه به کامل بودن رتبه ماتریس های و ، پاسخ معادله فوق به شکل زیر محاسبه می گردد:
() (۲-۳۵)
عبارت فوق نشان دهنده این مطلب خواهد بود که بردار ویژه متناظر با کمترین مقادیر ویژه ( بر زیر فضای سیگنال در جهت ورودی به آرایه عمود می باشد. این بردارهای ویژه، در حقیقت زیرفضای نویز را ایجاد می نمایند. هم چنین کلیه بردارهای پاسخ آرایه آنتن در جهت زاویه ورود بر این زیرفضا – زیرفضای نویز- عمود خواهد بود. در حقیقت منبع مستقل ارسال سیگنال یک زیرفضای بعدی را تشکیل می دهد که بر زیر فضای نویز همواره عمود است. هم چنین ترکیب زیرفضای نویز با زیرفضای سیگنال کل فضا را شامل می گردد. بنابراین روابط زیر برقرار می باشد:
(۲-۳۶)
که در فرمول بالا نشان دهنده زیرفضای سیگنال و نشان دهنده زیرفضای نویز می باشد.
(۲-۳۷)
(۲-