با توجه به شکل ۱-۸ سه بردار به نزدیکترین همسایه های اتم اشاره دارد. چون هر اتم ، با ۳ اتم همسایه است، می توان ۳ بردار با{۳، ۲، ۱}= l را مطابق شکل در نظر گرفت و رابطه (۱-۱۲) را بر حسب آن باز نویسی کرد:
(۱-۱۳)
حاصل انتگرال به صورت زیر در نظر گرفته می شود :
(۱-۱۴)
t پارامتر جهش بین نزدیکترین همسایه هاست و مقدار آن برای گرافن ev ۶۶/۲ است. رابطه (۱-۱۳) به عبارت زیر می انجامد که در آن f(x) به عنوان فاکتور هندسی^[۶۸] معرفی می شود:

( اینجا فقط تکه ای از متن پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

(۱-۱۵)
واضح است که عنصر غیر قطری را هم می توان به راحتی محاسبه کرد:
(۱-۱۶)
برای محاسبه فاکتور هندسی ، بردار مورد نیاز است:
(۱-۱۷)
با جایگذاری در تابع نمایی نتیجه می شود:
که در محاسبه فوق از تساوی استفاده شده است.
(۱-۱۸)
به این ترتیب عناصر ماتریس انتقال یعنی H محاسبه شدند.
اکنون عناصر ماتریس همپوشانی یعنی S محاسبه می شوند. روش محاسبه عناصر S مشابه با روش به کار برده شده برای محاسبه عناصر H است.
تابع بلاخ (۱-۴) در رابطه زیر جایگذاری می گردد :
(۱-۱۹)
همانطور که قبلا توضیح داده شد، را اختیار می کنیم. چون توابع ونیر نرمالیزه^[۶۹] هستند، حاصل انتگرال یک خواهد شد. نتیجه حاصل مجددا به اتم هایB قابل تعمیم است. بنابر این:
(۱-۲۰)
برای عناصر غیر قطری S نیز از همان روش استفاده می شود. با جایگذاری تابع بلاخ خواهیم داشت:
(۱-۲۱)
پارامتر S که در محاسبات وارد شده است به صورت زیر معرفی می گردد:
(۱-۲۲)
این پارامتر، همپوشانی تابع ونیر را با نزدیکترین همسایه هایش نشان می دهد و مقدار آن حدود۱۲۹/۰ =S است. چون S خیلی کوچکتر از ۱ است می توان از آن صرف نظر نمود.
به این ترتیب ، در نمایش ماتریس معادله به شکل زیر در می آید:
↔ (۱-۲۳)
و نهایتا عناصر ماتریس های H و S به صورت زیر محاسبه شدند:
(۱-۲۴)
مشاهده می شود که نتایج تنها به دو پارامتر بستگی دارد، انرژی و قدرت جهش .
مقدار بر انرژی فرمی منطبق است و می توان آن را صفر اختیار نمود. مقدار نیزاز محاسبات DFT و یا آزمایش به دست می آید و همانطور که ذکر شد برای گرافن در حدود ev ۶۶/۲ است.
ویژه مقادیر رابطه (۱-۲۳) با حل معادله زیر حاصل می شود:
(۱-۲۵)
با حل این معادله نتیجه زیر برای رابطه پراکندگی به دست می آید:
(۱-۲۶)
ساختار نواری گرافن در شکل (۱-۹) نمایش داده شده است.
به عنوان نتیجه ای از حضور دو اتم در هر سلول واحد، رابطه پراکندگی شامل دو نوار است، نوار ظرفیت و نوار رسانش. دو نوار جدا شده اند: نوار در E<0 و نوار در E>0. این دو بر یکدیگر در نقاط K که تقارن بالایی دارند و در گوشه های اولین منطقه BZ قرار دارند، مماس می شوند. اگرچه ۶ نقطه اینچنینی وجود دارند، اما فقط دو تای آن ها مستقل هستند، نقاط K وK’ (شکل ۱-۹). از آن جایی که ۲ الکترون آزاد در هر سلول واحد وجود دارد، نوار که نوار ظرفیت است کاملا پر شده است و نوار که نوار رسانش است کاملا خالی است، در نتیجه انرژی فرمی در نقاط K وK’ (در E=0) قرار می گیرد]۴[.

شکل ۱-۹- ساختار نواری گرافن که نوار ظرفیت ونوار رسانایی را نشان می دهد . انرژی فرمی دقیقا در نقاط K و K’ قرار دارد و حالت ها در نزدیکی این نقاط دره های مستقلی را در فضای تکانه شکل می دهند .
بنابراین گرافن هیچ گافی ندارد. با این وجود چگالی حالت ها درK وK’ صفر است و از این نقطه نظر گرافن گاهی نیمه رسانای بدون گاف^[۷۰] نامیده می شود. با توجه به شکل مشاهده می شود که در نزدیکی این شش نقطه، جایی که دو نوار بر هم مماس هستند ،پراکندگی بر حسب K تقریبا خطی است و این یک ویژگی منحصر به فرد گرافن است.
۱-۹ – حد انرژی پایین^[۷۱]، الکترون های دیراک^[۷۲]
بیشتر ویژگی های جالب گرافن به برانگیختگی در انرژی های پایین مربوط می شود. حالت های الکترونیکی نزدیک سطح فرمی(E=0) ویژگی های انتقال الکترونیکی الکترون های رسانایی در گرافن را نشان می دهند. از این رو حالت های الکترونیکی نزدیک به نقاط K وK’ در حد انرژی های پایین را بررسی می نماییم.
نقطه شروع کار هامیلتونی به دست آمده در رابطه ۱-۲۴ است که در آن صفر اختیار می شود:
(۱-۲۷)
بردار بر حسب یک بردار که به نقطه () اشاره دارد و یک بردار کوچک q نوشته می شود:
(۱-۲۸)