بنابراین درصورتی که سطح صفر رابطه (۳-۳) را پیدا کنیم در واقع به جواب مطلوب رسیدهایم.
( اینجا فقط تکه ای از متن پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )
(۳-۳الف)
اما چون این معادله به صورت تدریجی به جواب میرسد، یعنی زمان در حل آن مطرح می شود، پس به طور کاملتر معادله را به صورت رابطه (۳-۴) مینویسیم:
(۳-۴)
از تابع رابطه(۳-۴) نسبت به t مشتق میگیریم، داریم:
(۳-۵)
میتوان مجموع جمله دوم و سوم سمت چپ تساوی رابطه (۳-۵) را اندکی تغییر داد و به روابط زیر رسید:
(۳-۶)
(۳-۷)
باتوجه به روابط (۳-۶) و (۳-۷) و وارد کردن آن در رابطه (۳-۵) خواهیم داشت:
(۳-۸)
در رابطه (۳-۷)، بردار سرعت و جهت حرکت آن عمود بر منحنی در مختصات x,y مشخص است. بنابراین:
(۳-۹)
بنابراین شکل نهایی معادله (۳-۸) به صورت زیر خواهد شد:
(۳-۱۰)
معادله (۳-۱۰) از دسته معادلات همیلتون_ ژاکوبی است که شکل کلی آنها به صورت زیر است:[۱۳]
(۳-۱۱)
با مقایسه روابط (۳-۱۰) و (۳-۱۱) پی میبریم که معادله (۳-۱۰) معادله دیفرانسیل همیلتون-ژاکوبی دو بعدی بهازای است و تابع همیلتونیان آن به شکل زیر است:
(۳-۱۲)
حل معادله همیلتون-ژاکوبی
حل این معادله به کمک تفاضل محدود[۴۲] و با رابطه زیر امکان پذیر است. توضیح چگونگی رسیدن به این رابطه در [۱۱] و [۱۳] به طور کامل بیان شده است. برای حالت تقریب مرتبه اول رابطه (۳-۱۳) پیاده می شود. با فرض این که در ، به ترتیب شماره سلول در صفحه مختصات و نمایشگر گام زمانی ام است.[۱۳]
(۳-۱۳)
که در این رابطه:[۱۳]
(۳-۱۴)
(۳-۱۵)
در روابط بالا بهترتیب تقریب مرتبه اول مشتق از چپ و از راست است:[۱۳]
(۳-۱۶)
(۳-۱۷)
روابط مشابه برای نیز به کمک الگوی بالا برقرار است.
برای تقریب مرتبه دوم مکانی، روابط به صورت زیر تغییر مییابد:[۱۳]
(۳-۱۸)
(۳-۱۹)
که در آنها:[۱۳]
(۳-۲۰)
(۳-۲۱)
(۳-۲۲)
(۳-۲۳)
در روابط بالا تابع سویچ[۴۳] نام دارد و مطابق زیر تعریف می شود:[۱۳]
(۳-۲۴)
در روابط بالا از روابط زیر بدست می آید:
(۳-۲۵)
(۳-۲۶)
(۳-۲۷)
تقریبهای بالاتر را با تعمیم روابط اخیر میتوان بدست آورد.[۱۳]
شرط پایداری
شرط پایداری معادله (۳-۱۳) با اعمال شرط CFL (کورانت، فردریش، لویی)[۴۴] ارضا می شود. قانونی که بیان می کند: سرعت جا به جایی منحنی سطح صفر تابع تنظیم سطح ( ) نباید از مقدار عددی سرعت موج یا همان یا بیشتر باشد. این شرط به ما کمک می کند که در حل معادله به روش تفاضل محدود، گام زمانی را مناسب انتخاب کنیم. برای تعیین گام زمانی مناسب از رابطه زیر کمک میگیریم.
(۳-۲۸)
(۳-۲۹)
در رابطه اخیر مقدار عددی بین صفر و یک است تا شرط پایداری رابطه (۳-۲۸) ارضا شود. مقداری مناسب برای تعیین گام زمانی است. در صورتی که بخواهیم اطمینان بیشتری از پایداری در طول پروسه حل داشته باشیم قرار میدهیم . تعیین کمتر پایداری را بیشتر و زمان رسیدن به جواب را طولانیتر می کند.[۱۱]
شرایط مرزی محیط محاسبه
در صورتی که بخواهیم مشتقگیری در محیط محدود به صورت عددی و با روش تفاضل محدود انجام دهیم نیاز به شرایط مرزی[۴۵] مناسب داریم. چرا که در غیر این صورت و در صورت تعیین شرایط مرزی نامناسب، موجی که به مرز برخورد می کند تطبیق نشده و بخشی از آن برمیگردد و در تکرارهای بالا موجب بههم خوردن محیط و در نتیجه تحلیلهای کاملاً اشتباه خواهد شد. ستیان استفاده از شرایط مرزی متناوب[۴۶] را پیشنهاد داده است[۱۳]. برای تقریب اول مشتق و حل مرتبه یک معادله دیفرانسیل این نوع شرط مرزی به این صورت خواهد بود که یک لایه فرضی در سرتاسر مرز محیط محاسباتی در نظر میگیریم، مقادیر در این لایه فرضی دقیقاً برابر مقادیر لایه مرزی اصلی است. معادله دیفرانسیل را در داخل مرز اصلی حل میکنیم. طبق رابطه (۳-۱۳)، (۳-۱۴) و (۳-۱۵) با این کار، در مرزهای اصلی مقادیر مشتقاتی که وارد لایه فرعی میشوند صفر شده و تاثیری در حل معادله نخواهد داشت. پس از حل معادله، دوباره مقادیر جدید لایه مرزی اصلی را به عنوان مقدار جدید لایه فرضی در نظر میگیریم.
[شنبه 1401-04-18] [ 01:02:00 ق.ظ ]
|