بنابراین درصورتی که سطح صفر رابطه (۳-۳) را پیدا کنیم در واقع به جواب مطلوب رسیده­ایم.

( اینجا فقط تکه ای از متن پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

(۳-۳الف)
اما چون این معادله به صورت تدریجی به جواب می­رسد، یعنی زمان در حل آن مطرح می­ شود، پس به طور کامل­تر معادله را به صورت رابطه (۳-۴) می­نویسیم:
(۳-۴)
از تابع رابطه(۳-۴) نسبت به t مشتق می­گیریم، داریم:
(۳-۵)
می­توان مجموع جمله دوم و سوم سمت چپ تساوی رابطه (۳-۵) را اندکی تغییر داد و به روابط زیر رسید:
(۳-۶)
(۳-۷)
باتوجه به روابط (۳-۶) و (۳-۷) و وارد کردن آن در رابطه (۳-۵) خواهیم داشت:
(۳-۸)
در رابطه (۳-۷)، بردار سرعت و جهت حرکت آن عمود بر منحنی در مختصات x,y مشخص است. بنابراین:
(۳-۹)
بنابراین شکل نهایی معادله (۳-۸) به صورت زیر خواهد شد:
(۳-۱۰)
معادله (۳-۱۰) از دسته معادلات همیلتون_ ژاکوبی است که شکل کلی آنها به صورت زیر است:[۱۳]
(۳-۱۱)
با مقایسه روابط (۳-۱۰) و (۳-۱۱) پی می­بریم که معادله (۳-۱۰) معادله دیفرانسیل همیلتون-ژاکوبی دو بعدی به­ازای است و تابع همیلتونیان آن به شکل زیر است:
(۳-۱۲)
حل معادله همیلتون-ژاکوبی
حل این معادله به کمک تفاضل محدود^[۴۲] و با رابطه زیر امکان­ پذیر است. توضیح چگونگی رسیدن به این رابطه در [۱۱] و [۱۳] به­ طور کامل بیان شده است. برای حالت تقریب مرتبه اول رابطه (۳-۱۳) پیاده می­ شود. با فرض این که در ، به ترتیب شماره سلول در صفحه مختصات و نمایشگر گام زمانی ام است.[۱۳]
(۳-۱۳)
که در این رابطه:[۱۳]
(۳-۱۴)
(۳-۱۵)
در روابط بالا به­ترتیب تقریب مرتبه اول مشتق از چپ و از راست است:[۱۳]
(۳-۱۶)
(۳-۱۷)
روابط مشابه برای نیز به کمک الگوی بالا برقرار است.
برای تقریب مرتبه دوم مکانی، روابط به صورت زیر تغییر می­یابد:[۱۳]
(۳-۱۸)
(۳-۱۹)
که در آنها:[۱۳]
(۳-۲۰)
(۳-۲۱)
(۳-۲۲)
(۳-۲۳)
در روابط بالا تابع سویچ^[۴۳] نام دارد و مطابق زیر تعریف می­ شود:[۱۳]
(۳-۲۴)
در روابط بالا از روابط زیر بدست می ­آید:
(۳-۲۵)
(۳-۲۶)
(۳-۲۷)
تقریب­های بالاتر را با تعمیم روابط اخیر می­توان بدست آورد.[۱۳]
شرط پایداری
شرط پایداری معادله (۳-۱۳) با اعمال شرط CFL (کورانت، فردریش، لویی)^[۴۴] ارضا می­ شود. قانونی که بیان می­ کند: سرعت جا به ­جایی منحنی سطح صفر تابع تنظیم سطح ( ) نباید از مقدار عددی سرعت موج یا همان یا بیشتر باشد. این شرط به ما کمک می­ کند که در حل معادله به روش تفاضل محدود، گام زمانی را مناسب انتخاب کنیم. برای تعیین گام زمانی مناسب از رابطه زیر کمک می­گیریم.
(۳-۲۸)
(۳-۲۹)
در رابطه اخیر مقدار عددی بین صفر و یک است تا شرط پایداری رابطه (۳-۲۸) ارضا شود. مقداری مناسب برای تعیین گام زمانی است. در صورتی که بخواهیم اطمینان بیشتری از پایداری در طول پروسه حل داشته باشیم قرار می­دهیم . تعیین کمتر پایداری را بیشتر و زمان رسیدن به جواب را طولانی­تر می­ کند.[۱۱]
شرایط مرزی محیط محاسبه
در صورتی که بخواهیم مشتق­گیری در محیط محدود به صورت عددی و با روش تفاضل محدود انجام دهیم نیاز به شرایط مرزی^[۴۵] مناسب داریم. چرا که در غیر این صورت و در صورت تعیین شرایط مرزی نامناسب، موجی که به مرز برخورد می­ کند تطبیق نشده و بخشی از آن برمی­گردد و در تکرارهای بالا موجب به­هم خوردن محیط و در نتیجه تحلیل­های کاملاً اشتباه خواهد شد. ستیان استفاده از شرایط مرزی متناوب^[۴۶] را پیشنهاد داده است[۱۳]. برای تقریب اول مشتق و حل مرتبه یک معادله دیفرانسیل این نوع شرط مرزی به این صورت خواهد بود که یک لایه فرضی در سرتاسر مرز محیط محاسباتی در نظر می­گیریم، مقادیر در این لایه فرضی دقیقاً برابر مقادیر لایه مرزی اصلی است. معادله دیفرانسیل را در داخل مرز اصلی حل می­کنیم. طبق رابطه (۳-۱۳)، (۳-۱۴) و (۳-۱۵) با این کار، در مرزهای اصلی مقادیر مشتقاتی که وارد لایه فرعی می­شوند صفر شده و تاثیری در حل معادله نخواهد داشت. پس از حل معادله، دوباره مقادیر جدید لایه مرزی اصلی را به عنوان مقدار جدید لایه فرضی در نظر می­گیریم.