P−^۱AP = diag[λ_۱,λ_۲,…,λ_n].
برهان. برای اثبات به [١٢] مراجعه شود.

( اینجا فقط تکه ای از متن پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

حال برای تبدیل دست اه خطx_{˙ = Ax} به ی دست اه جدا شده، جهت حل دست اه مذکور، از قضیه ٩.١.٢
بهره م گیریم. برای این منظور از تبدیل مختصاتy _{= P}−^۱_x استفاده م کنیم. بنابراین
,y˙ = P−^۱x˙ = P−^۱Ax = P−^۱APy = diag[λ_۱,λ_۲,…,λ_n]yو این دست اه دارای ماتریس قطری است لذا جواب آن بهصورت زیر است
y(t) = ediag[λ^۱,λ^۲,…,λⁿ]ty(0).
از طرف چون (۰)y(0) = P−^۱x و (x(t) = Py(t بنابراین جواب دست اه بهصورت زیر است
x(t) = PE(t)P−^۱x(0),
که در آن ₍E_(t ماتریس قطری زیر است.
E(t) = diag[e^λ۱t,…,e^λnt].
بنابراین با توجه به فرضیات قضیه ٩.١.٢ ، جواب دست اه خط _.۰ ^,x_x^˙_{(۰) =}^{= Ax}_x } بهصورت زیر است
x(t) = PE(t)P−^۱x(0),
که در آن ₍E_(t ماتریس قطری زیر است.
E(t) = diag[e^λ۱t,…,e^λnt].
طبق آنچه بیان گردید همواره م توان ماتریس وارونپذیرP (که ستونهای آن بردارهای ویژه تعمیمیافته ماتریسهستند) را طوری محاسبه کرد که
= P−^۱AP.
م دانیم که محاسبه ماتریسe^At معادل با حل دست اه خطx_{˙ = Ax} است. در اینصورت داریم
eAt = PeBtP−۱.
از طرف صورت ظاهری ماتریسB ارتباط مستقیم با مقادیر ویژه ماتریسA دارد. از این منظر ۴ حالت مختلفمم ن را در حالت کهA ماتریس ۲ × ۲ است، مورد بحث قرار م دهیم.

و متمایز باشد در اینصورت
,

١. اگرA دارای مقادیر ویژه حقیق

۰e
[
eBt =λt µt ].
۰ e
اگرA دارای مقادیر ویژه حقیق که متمایز نیستند باشد در اینصورت
[
[
λ ۱

=],
λ
t
eBt = eλt].
۰ ۱
اگرA دارای مقادیر ویژه مختلط و متمایز باشد (λ_{i= a} ± ib) در اینصورت
₌a −^b ], b a
[
[
eBt = eatcosbt −sinbt ].
sinbt cosbt
۴. اگرA دارای مقادیر ویژه مختلط و متمایز باشد و مقادیر ویژه آن فقط قسمت موهوم داشته باشند (λ_{i =} ±ib)در اینصورت
B ₌ [ ۰ −^b ],
b ۰