در این حالت به دو طریق میتوان رفتار محیط را بررسی کرد. روش اول به این صورت است که مرز بین محیط محدود و نامحدود یا بطور کلی مرز بین حیطه نزدیک و حیطه دور را به قسمت های مختلفی تقسیم میکنیم. همانطور که در شکل ۳-۵ ملاحظه می شود، قسمت های بالایی مربوط به موج ریلی، زیر آن مربوط به موج برشی و در نهایت قسمت تحتانی مربوط به موج فشاری است.
شکل ۳-۵ انتشار امواج در نواحی مختلف حیطه مسئله (Yang & Hong, 2009)
این توزیع انتشار امواج در محیط (Yang et al., (1996، ارائه شد. این شیوه تا حدی تقریبی است، چرا که این توزیع محیط مختص حالتی است که بار وارده در جهت قائم باشد. اگر بار در جهت افقی یا یک لنگر به مسئله اعمال شود، توزیع محیط مسئله به این صورت دقیق نخواهد بود. در (Yang et al., (1996، هیچ اشارهای به این مطلب نشده است. البته لازم به ذکر است که قبل از ینگ اولین بار (Zhang & Zhao, (1987، از المان نامحدود با تابع زوال نمایی جهت بررسی رفتار خاک استفاده کرده اند. آنها چپ و راست محیط را کلاً به موج ریلی و قسمت زیرین محیط را به موج برشی اختصاص داده بودند.
اما روش دوم به این صورت است که محیط را به قسمت های مختلف تقیسم نمیکنیم. از این روش (Zhao & Valliappan, 1993; Yerli, et al., 1998) استفاده کرده اند. در این روش میتوان از المانهای یک، دو و سه نوع موج استفاده کرد. در واقع همانند درونیابیای که در روش المان محدود جهت پیدا کردن مختصات و جابجاییها انجام می شود، در هر المان نامحدود، چنین درونیابیای جهت پیدا کردن سهم هر تعداد از انواع موج بکار رفته در هر گره المان می شود. تفاوت دیگری که این روش علاوه بر تقسیم نکردن محیط به قسمت های مختلف دارد، این است که در هر المان جهت درونیابی امواج مختلف، از چند گره بیشتر نسبت به حالت اول استفاده می شود. جزئیات دو روش به تفصیل در ادامه توضیح داده خواهند شد.
۳-۵-۱ روش اول، قسمت بندی محیط مسئله
المانهایی که در روش المان نامحدود بکار میروند از نوع ایزوپارامتریک هستند. این مطلب در شکل ۳-۶ قابل ملاحظه است.
شکل ۳-۶ المان نامحدود در مختصات کلی و مختصات محلی (Yang & Hong, 2009)
همانند روش المان محدود در روش المان نامحدود نیز از توابع شکل جهت درونیابی مختصات و جابجاییهای گرهها استفاده می شود، ولی بر خلاف روش المان محدود در این روش توابعی که جهت درونیابی مختصات و جابجاییهای گرهها بکار میروند، متفاوت از یکدیگر هستند. همانند روش المان محدود، را مختصات کلی و را به عنوان مختصات محلی یا مختصات طبیعی در نظر میگیریم. مختصات گرههای هر المان توسط روابط زیر مشخص میشوند.
(۳-۴۱)
، تعداد گرههای هر المان نامحدود است. همانطور که در روابط بالا ملاحظه می شود، توابع شکل جهت درون یابی مختصات را با ، نشان دادهایم. این توابع در جهت ، بصورت خطی و در جهت ، بصورت درجه دو هستند. این توابع بصورت زیر هستند.
(۳-۴۲) ,
,
جابجاییهای گرههای هر المان نامحدود و ، توسط روابط زیر مشخص میشوند.
(۳-۴۳) ,
که توابع شکل ، به شرح زیر هستند.
(۳-۴۴)
تابع را تابع انتشار موج مینامند.
(۳-۴۵)
که ، عامل استهلاک دامنه جابجایی موج و ، عدد موج است. عبارت ، به منظور نشان دادن تضعیف دامنه موج به علت انتشار موج، بکار میرود که آن را میرایی تشعشعی یا تابشی نامیدهاند. عبارت ، نشان دهنده ماهیت نوسانی موج است. همانطور که از روابط ۳-۴۴ قابل ملاحظه است، جابجاییهای المانهای نامحدود فقط در راستای مرز حیطه نزدیک و حیطه دور، درونیابی میشوند. در حالیکه در جهت بینهایت، فرض میشود که جابجاییها از مبدأ به سمت بینهایت میرا میشوند. مزیتی که بر این روش وجود دارد این است که احتیاج به هیچ گره بیشتر در جهت بینهایت مدل نیست.
قسمتی از المان نامحدود که در مقالات هم زیاد به آن توجه نمیکنند طول المان نامحدود است . که آن را طول مشخصه مینامند. در مدل سازی نمیتوانیم طول المان نامحدود را بینهایت در نظر بگیریم. در رابطه با این طول، در بعضی کتب و مراجع از جمله
(Yerli et al., (1998، بصورت ضمنی اشاره شده که حاصل تقسیم مختصات گره انتهایی به گره ابتدایی مساوی دو شود. همانطور که در شکل ۳-۷ نیز نشان داده شده است، منظور این است که در مختصات کلی عبارت زیر برقرار باشد.
(۳-۴۶)
شکل ۳-۷ نمایش طول المان نامحدود در جهت محور . (Yang & Hong, 2009)
عبارات و ، به شرح زیر هستند.
(۳-۴۷)
بُعد ، ، یک تقسیم بر واحد طول است. نیز عدد موج است و واحدش است و عدد موج بوده که ، فرکانس زاویهای تحریک و ، سرعت موج است. در عبارت ۳-۴۷ با ضرب و در طول المان، از لحاظ ابعادی بیبعد شده اند.
همانطور که پیشتر نیز اشاره شده بود، یکی از مزایای روش المان نامحدود، مشابه بودن تعاریف ماتریسهای سختی و جرم با روش المان محدود است. تنها تفاوت این دو ماتریس در دو روش در ابعاد ماتریسهای تشکیل دهنده آنها است.
در اینجا از بیان تعاریفی که در دو روش یکسان هستند، صرف نظر می شود. ماتریس ژاکوبین به صورت زیر تعریف می شود.
(۳-۴۸)
در روش المان محدود، روی ۸ گره و در اینجا روی ۵ گره که تعداد گرههای المان نامحدود هستند، جمع زده می شود. ماتریسهای و ، به صورت زیر هستند.
(۳-۴۹)
(۳-۵۰)
و ماتریسهای سختی و جرم هر المان نامحدود به فرم زیر هستند.
(۳-۵۱)
(۳-۵۲)
همانطور که ملاحظه می شود ابعاد ماتریسهای جرم و سختی به اندازه دو برابر تعداد گرههای مشترک بین المانهای المان محدود و المان نامحدود است و علت دو برابر بودن، این است که در فضای دو بعدی برای گرههای این المانها، دو درجه آزادی قائل هستیم. تعریف ماتریس ، همان تعریفی است که در بخش مربوط به المان محدود ارائه شد.
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت nefo.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))
تا اینجا فرمول بندی مربوط به روش اول که مربوط به (Yang et al., (1996، است، توضیح داده شد. در قسمت بعدی فرمولاسیون مربوط به روش دوم بررسی خواهد شد.
۳-۵-۲ روش دوم، المان بینهایت با سه نوع موج
همانطور که پیشتر نیز اشاره شد، از این روش اولین بار (Zhao & Valliappan, (1993، و مدتی بعد(Yerli et al., (1998، استفاده کرده اند. شاید بتوان دستهبندی جامع تری برای این روش را در مطالعه (Yerli et al., (1998 دید. در مقالهای که ارائه کرده اند، فرمول بندی مربوط به سه حالت یک، دو و سه نوع موج ارائه شده است. به دلیل جامعیت بیشتر و همچنین ماهیت مسئله، در این مطالعه از المان نامحدود با سه نوع موج استفاده شده است. در بعضی مسائل مثل تونل مدفون که رفتار در اعماق خاک بررسی می شود، احتیاجی به در نظر گرفتن موج ریلی که یک موج سطحی است، نیست. چرا که شاید بتوان گفت اصلاً در اعماق توده خاک چنین موجی منتشر نمی شود. بنابراین میتوان در این حالت از المان نامحدود به دو نوع موج، یعنی موج فشاری و برشی استفاده کرد.
در این حالت برای اینکه بتوانیم امواج انتشار یافته در محیط را درونیابی بکنیم دو گره به المان نامحدود اضافه میکنیم.
شکل ۳-۸ المان نامحدود در مختصات کلی و مختصات محلی (Yerli et al., 1998)
مطابق شکل ۳-۸ دو گره ۶ و ۷ در ، به المان اضافه شده است. رابطه نگاشت بین مختصات کلی و مختصات محلی همان روابطی است که توسط ژنگ و ژائو ۱۹۸۷، ارائه شده است.
(۳-۵۳)
که توابع شکل آن عبارتند از :
[جمعه 1401-04-17] [ 11:28:00 ب.ظ ]
|