در این حالت به دو طریق می­توان رفتار محیط را بررسی کرد. روش اول به این صورت است که مرز بین محیط محدود و نامحدود یا بطور کلی مرز بین حیطه نزدیک و حیطه دور را به قسمت­ های مختلفی تقسیم می­کنیم. همانطور که در شکل ۳-۵ ملاحظه می­ شود، قسمت­ های بالایی مربوط به موج ریلی، زیر آن مربوط به موج برشی و در نهایت قسمت تحتانی مربوط به موج فشاری است.
شکل ۳-۵ انتشار امواج در نواحی مختلف حیطه مسئله (Yang & Hong, 2009)
این توزیع انتشار امواج در محیط (Yang et al., (1996، ارائه شد. این شیوه تا حدی تقریبی است، چرا که این توزیع محیط مختص حالتی است که بار وارده در جهت قائم باشد. اگر بار در جهت افقی یا یک لنگر به مسئله اعمال شود، توزیع محیط مسئله به این صورت دقیق نخواهد بود. در (Yang et al., (1996، هیچ اشاره­ای به این مطلب نشده است. البته لازم به ذکر است که قبل از ینگ اولین بار (Zhang & Zhao, (1987، از المان نامحدود با تابع زوال نمایی جهت بررسی رفتار خاک استفاده کرده ­اند. آنها چپ و راست محیط را کلاً به موج ریلی و قسمت زیرین محیط را به موج برشی اختصاص داده بودند.
اما روش دوم به این صورت است که محیط را به قسمت­ های مختلف تقیسم نمی­کنیم. از این روش (Zhao & Valliappan, 1993; Yerli, et al., 1998) استفاده کرده ­اند. در این روش می­توان از المان­های یک، دو و سه نوع موج استفاده کرد. در واقع همانند درون­یابی­ای که در روش المان محدود جهت پیدا کردن مختصات و جابجایی­ها انجام می­ شود، در هر المان نامحدود، چنین درون­یابی­ای جهت پیدا کردن سهم هر تعداد از انواع موج بکار رفته در هر گره المان می­ شود. تفاوت دیگری که این روش علاوه بر تقسیم نکردن محیط به قسمت­ های مختلف دارد، این است که در هر المان جهت درون­یابی امواج مختلف، از چند گره بیشتر نسبت به حالت اول استفاده می­ شود. جزئیات دو روش به تفصیل در ادامه توضیح داده خواهند شد.
۳-۵-۱ روش اول، قسمت بندی محیط مسئله
المان­هایی که در روش المان نامحدود بکار می­روند از نوع ایزوپارامتریک هستند. این مطلب در شکل ۳-۶ قابل ملاحظه است.

شکل ۳-۶ المان نامحدود در مختصات کلی و مختصات محلی (Yang & Hong, 2009)
همانند روش المان محدود در روش المان نامحدود نیز از توابع شکل جهت درون­یابی مختصات و جابجایی­های گره­ها استفاده می­ شود، ولی بر خلاف روش المان محدود در این روش توابعی که جهت درون­یابی مختصات و جابجایی­های گره­ها بکار می­روند، متفاوت از یکدیگر هستند. همانند روش المان محدود، را مختصات کلی و را به عنوان مختصات محلی یا مختصات طبیعی در نظر می­گیریم. مختصات گره­های هر المان توسط روابط زیر مشخص می­شوند.
(۳-۴۱)
، تعداد گره­های هر المان نامحدود است. همانطور که در روابط بالا ملاحظه می­ شود، توابع شکل جهت درون یابی مختصات را با ، نشان داده­ایم. این توابع در جهت ، بصورت خطی و در جهت ، بصورت درجه دو هستند. این توابع بصورت زیر هستند.
(۳-۴۲) ,
,
جابجایی­های گره­های هر المان نامحدود و ، توسط روابط زیر مشخص می­شوند.
(۳-۴۳) ,
که توابع شکل ، به شرح زیر هستند.
(۳-۴۴)
تابع را تابع انتشار موج می­نامند.
(۳-۴۵)
که ، عامل استهلاک دامنه جابجایی موج و ، عدد موج است. عبارت ، به منظور نشان دادن تضعیف دامنه موج به علت انتشار موج، بکار می­رود که آن را میرایی تشعشعی یا تابشی نامیده­اند. عبارت ، نشان دهنده ماهیت نوسانی موج است. همانطور که از روابط ۳-۴۴ قابل ملاحظه است، جابجایی­های المان­های نامحدود فقط در راستای مرز حیطه نزدیک و حیطه دور، درون­یابی می­شوند. در حالیکه در جهت بی­نهایت، فرض میشود که جابجایی­ها از مبدأ به سمت بی­نهایت میرا می­شوند. مزیتی که بر این روش وجود دارد این است که احتیاج به هیچ گره بیشتر در جهت بی­نهایت مدل نیست.
قسمتی از المان نامحدود که در مقالات هم زیاد به آن توجه نمی­کنند طول المان نامحدود است . که آن را طول مشخصه می­نامند. در مدل سازی نمی­توانیم طول المان نامحدود را بی­نهایت در نظر بگیریم. در رابطه با این طول، در بعضی کتب و مراجع از جمله
(Yerli et al., (1998، بصورت ضمنی اشاره شده که حاصل تقسیم مختصات گره­ انتهایی به گره ابتدایی مساوی دو شود. همانطور که در شکل ۳-۷ نیز نشان داده شده است، منظور این است که در مختصات کلی عبارت زیر برقرار باشد.
(۳-۴۶)
شکل ۳-۷ نمایش طول المان نامحدود در جهت محور . (Yang & Hong, 2009)
عبارات و ، به شرح زیر هستند.
(۳-۴۷)
بُعد ، ، یک تقسیم بر واحد طول است. نیز عدد موج است و واحدش است و عدد موج بوده که ، فرکانس زاویه­ای تحریک و ، سرعت موج است. در عبارت ۳-۴۷ با ضرب و در طول المان، از لحاظ ابعادی بی­بعد شده ­اند.
همانطور که پیشتر نیز اشاره شده بود، یکی از مزایای روش المان نامحدود، مشابه بودن تعاریف ماتریس­های سختی و جرم با روش المان محدود است. تنها تفاوت این دو ماتریس در دو روش در ابعاد ماتریس­های تشکیل دهنده آنها است.
در اینجا از بیان تعاریفی که در دو روش یکسان هستند، صرف نظر می­ شود. ماتریس ژاکوبین به صورت زیر تعریف می­ شود.
(۳-۴۸)
در روش المان محدود، روی ۸ گره و در اینجا روی ۵ گره که تعداد گره­های المان نامحدود هستند، جمع زده می­ شود. ماتریس­های و ، به صورت زیر هستند.
(۳-۴۹)
(۳-۵۰)
و ماتریس­های سختی و جرم هر المان نامحدود به فرم زیر هستند.
(۳-۵۱)
(۳-۵۲)
همانطور که ملاحظه می­ شود ابعاد ماتریس­های جرم و سختی به اندازه دو برابر تعداد گره­های مشترک بین المان­های المان محدود و المان نامحدود است و علت دو برابر بودن، این است که در فضای دو بعدی برای گره­های این المان­ها، دو درجه آزادی قائل هستیم. تعریف ماتریس ، همان تعریفی است که در بخش مربوط به المان محدود ارائه شد.
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت nefo.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

تا اینجا فرمول بندی مربوط به روش اول که مربوط به (Yang et al., (1996، است، توضیح داده شد. در قسمت بعدی فرمولاسیون مربوط به روش دوم بررسی خواهد شد.
۳-۵-۲ روش دوم، المان بی­نهایت با سه نوع موج
همانطور که پیشتر نیز اشاره شد، از این روش اولین بار (Zhao & Valliappan, (1993، و مدتی بعد(Yerli et al., (1998، استفاده کرده ­اند. شاید بتوان دسته­بندی جامع تری برای این روش را در مطالعه (Yerli et al., (1998 دید. در مقاله­ای که ارائه کرده ­اند، فرمول بندی مربوط به سه حالت یک، دو و سه نوع موج ارائه شده است. به دلیل جامعیت بیشتر و همچنین ماهیت مسئله، در این مطالعه از المان نامحدود با سه نوع موج استفاده شده است. در بعضی مسائل مثل تونل مدفون که رفتار در اعماق خاک بررسی می­ شود، احتیاجی به در نظر گرفتن موج ریلی که یک موج سطحی است، نیست. چرا که شاید بتوان گفت اصلاً در اعماق توده خاک چنین موجی منتشر نمی­ شود. بنابراین می­توان در این حالت از المان نامحدود به دو نوع موج، یعنی موج فشاری و برشی استفاده کرد.
در این حالت برای اینکه بتوانیم امواج انتشار یافته در محیط را درون­یابی بکنیم دو گره به المان نامحدود اضافه می­کنیم.
شکل ۳-۸ المان نامحدود در مختصات کلی و مختصات محلی (Yerli et al., 1998)
مطابق شکل ۳-۸ دو گره ۶ و ۷ در ، به المان اضافه شده است. رابطه نگاشت بین مختصات کلی و مختصات محلی همان روابطی است که توسط ژنگ و ژائو ۱۹۸۷، ارائه شده است.
(۳-۵۳)
که توابع شکل آن عبارتند از :