F=ma ? 3-1)
می باشد که f نیروی اعمال شده به ذره و a شتاب است. با دانستن نیرویی که بر هر اتم اعمال می گردد می توان شتاب هر اتم را در سیستم تعیین کرد. با انتگرالگیری از معادله حرکت، می توان مسیر حرکت ذرات را که توصیف کننده مکان، سرعت و شتاب هر یک از ذرات می باشد با گذشت زمان تعیین کرد. به این ترتیب تحول مسیر حرکت با زمان مشخص می گردد. با بهره گرفتن از مسیر حرکت می توان مقادیر متوسط خواص را تعیین کرد. این روش جبری است و با مشخص کردن مکان ها و سرعت های مربوط به هر اتم می توان حالت سیستم را در هر زمان-گذشته و آینده-پیش بینی کرد.
در یک سیستم منزوی انرژی کل همان هامیلتونی می باشد. هامیلتونی یک دستگاه N ذره ای را می توان بصورت جمع انرژی های پتانسیل و جنبشی به این صورت نوشت :

( ۳-۲):

q: مختصه های مکانی ذره های دستگاه
p: تکانه ی ذرات دستگاه
برای یک دستگاه N ذره ای انرژی پتانسیل و جنبشی به ترتیب به این صورت تعریف می شوند:

(۳-۳):
(۳-۴):
اثر میدان خارجی= H₁
برهمکنشهای دو تایی ذرات=H₂
برهمکنهای سه تایی ذرات₌H₃
برهمکنش های چهار تایی= H₄
وبه همین ترتیب تا آخر
با بهره گرفتن از معادلات حرکت هامیلتون:
(۳-۵):
( ۳-۶):
و با بهره گرفتن از مختصه های تعمیم یافته q به مختصات مکانی ذرات، در این صورت می توان معادلات حرکت ذرات در مختصات دکارتی را به این صورت به دست آورد:
(۳-۷):

(۳-۸):
برای سیستمی شامل N مولکول کروی معادلات حرکت هامیلتونی نشان دهنده ۶N معادله دیفرانسیلی مرتبه اول می باشند که معادل با ۳N معادله مرتبه دوم نیوتنی هستند. تمایز بین دینامیک هامیلتونی و نیوتنی این است که در دینامیک نیوتنی، حرکت پاسخی به نیروی اعمال شده می باشد، در حالی که در دینامیک هامیلتونی نیروها به طور واضح ظاهر نمی شوند و در عوض حرکت برای حفظ تابع هامیلتونی رخ می دهد. برای به دست آوردن معادله حرکت هامیلتونی سه فرض استفاده شده که عبارتند از :
۱-سیستم مورد بررسی منزوی است. در صورتی که سیستم با محیط اطراف تبادل انرژی داشته باشد، هامیلتونی جملات اضافه ای را که در برگیرنده برهمکنش های بین سیستم و محیط هستند شامل می شوند، لذا هامیلتونیH انرژی کل سیستم نخواهد بود. در این حالتH هنوز پایسته است ولی Eپایسته نیست.
۲- اندازه حرکت و سرعت توسط رابطه P=MV با یکدیگر ارتباط دارند.
۳- هامیلتونی شامل هیچ نوع وابستگی مشخصی از زمان نخواهد بود. در این صورت هامیلتونی یک مقدار پایسته می باشد. باید توجه داشت که چه فرض های فوق صادق باشند یا نباشند معادلات حرکت هامیلتونی معتبر هستند.
بیشتر در شبیه سازی ها برای بدست آوردن مکان ذرات و همین طور سرعت آنها از ورلت سرعتی استفاده می شود.
(۳-۹):

(۳-۱۰):
که در آن زمان از مرتبه فمتو ثانیه می باشد.
۳-۴-شرایط مرزی تناوبی۳
۳-۴-۱- اثرات سطحی^۴
دینامیک مولکولی معمولاً برای سیستم های حاوی چند صد یا چند هزار اتم به کار می رود.
۳.Periodic boundary conditions(pbc)
۴.Surface effects
در این سیستم های کوچک، اثرات سطحی بسیار مهم هستند. اثرات سطحی برهمکنش اتم ها با دیواره های ظرف می باشند. به عنوان مثال، برای اینکه ۵۰۰اتم در حالت مایع باشند، باید مکعبی با ابعاد ۵/۸ برابر قطر اتمی در نظر بگیریم. از طرفی برهمکنش های سیال^۵دیواره تا فاصله ۴ تا ۱۰ برابر قطر اتمی از دیواره ها وجود دارند. شبیه سازی چنین سیستمی اطلاعاتی در مورد رفتار مایع در نزدیک سطح جامد ارائه می دهد ولی هیچ اطلاعاتی در مورد توده^۶مایع ارائه نمی کند. در شبیه سازی خوشه ای از اتم ها اندازه سیستمی که شبیه سازی می کنیم چندان مهم نیست، اما باید توجه داشت که این یک وضعیت واقعی نیست. در سیستم های دیگر تعداد اتم های سیستم در مقایسه با تعداداتم های یک بخش ماکروسکوپی از ماده قابل صرفنظر بوده و نسبت تعداد اتم های سطح به تعداد کل اتم ها بسیار زیاد خواهد بود. این امر باعث می شود اثرات سطحی از آنچه واقعاً باید باشند خیلی مهم تر به نظر آیند و اثرات سطحی در این حالت بسیار شدید می باشند.
۳-۴-۲-از بین بردن اثرات سطحی
در مواردی که اثرات سطحی مورد توجه نباشند، با اعمال شرایط مرزی تناوبی حذف می شوند. برای به کار بردن شرایط مرزی تناوبی در یک شبیه سازی که دارایN اتم در حجمV می باشد، فرض می کنیم حجم Vفقط بخش کوچکی از توده ماده است. این حجمVرا جعبه اولیه^۷ و یا سلول مرکزی^۸ می نامند. سلول اولیه یا مرکزی نشان دهنده قسمتی از توده ماده است که با کپی هایی از خودش احاطه شده و توده ماده را می سازد. این کپی ها را سلول یا جعبه تصویر^۹می نامند. این جعبه های تصویر از نظر اندازه و شکل با سلول اولیه مشابه بوده و هر یک دارای Nاتم هستند که این اتم ها تصاویراتم های موجود در سلول اولیه می باشند.
۵.Fluid
۶.Bulk
۷.Primary cell (box)
۸.Central cell (box)
۹.Image cell (box)
بنابراین،این گونه تصور می شود که سل اولیه به طور تناوبی در همه جهات کپی برداری شده تا نمونه ماکروسکوپی ماده مورد نظر را ایجاد کند. تناوبی بودن به مکان ها و اندازه حرکت اتم ها در سل تصویر نیز اعمال می شود. اتم های سل اولیه دارای تصویر آینه ای همانند در تمامی سل های دیگر می باشند. در شبیه سازی وقتی یک اتم در سل اصلی حرکت می کند، تصویر تناوبی آن در هر سل مجاور دقیقاً در همان مسیر حرکت می کند. بنابراین یک اتم سل مرکزی را ترک کند، یکی از تصاویر آن از وجه مقابل وارد سل می شود. لذا چگالی عددی^۷در سل مرکزی همیشه ثابت و پایسته باقی می ماندشکل(۳-۱).
(شکل۳-۱): شرایط مرزی تناوبی
لازم نیست مختصات همه تصاویر در شبیه سازی ذخیره شوند، بلکه فقط کافی است مختصات اتم های موجود در سلول مرکزی ذخیره شود.در نتیجه سلول مرکزی تهی از هر مرز بوده و اثرات سطحی حذف می گردند. اعمال شرایط مرزی تناوبی یک روش مهم در شبیه سازی دینامیک مولکولی است و در حقیقت یک ترفند زیرکانه برای انجام شبیه سازی با تعداد محدود چند صد اتم است، زیرا سبب می گردد این گونه القا شود که سیستم از لحاظ اندازه بی نهایت است. دلیل اصلی استفاده از شرایط مرزی تناوبی از بین بردن اثرات سطحی است. این اثرات را هر نمونه معینی از ماده دارا می باشد و در این حالت ساختار داخلی به جای نیروهای توده توسط نیروهای سطحی تعیین می شود.
۳-۵- نیروهای کوتاه برد
برای کاهش تعداد برهمکنش نیروی کوتاه برد می توان از سه روش زیر استفاده کرد.
۱-تقریب کنش با نزدیکترین همسایه یا تقریب بر هم کنشهای تصویری کمینه
۲-تقریب قطع مکعبی: در اطراف هر ذره یاخته اصلی مکعب قطعی به طول مشخص قرار داده می شود.تعداد کل برهمکنش ها =N(N-1)/2
۳-تقریب قطع کروی: در اطراف هر ذره در یاخته اصلی کره ای به شعاع قطع در نظر می گیریم. ما در شبیه سازی خود در این پایان نامه از روش تقریب قطع کروی استفاده کرده ایم. در این روش برای هر یک از ذره های درون یاخته ای اصلی در هر چند گام زمانی کره ای به شعاع قطع (r_c) فرض می کنیم و فرض می کنیم به ازای r>r_cپتانسیل صفر باشد. در این صورت فقط ذره هایی که درون این کره هستند با ذره ی مرکزی برهمکنش دارند. در شکل ۳-۲ یک کره ی قطع حول یک ذره در یاخته ی اصلی شبیه سازی نشان داده شده است.