این آزمون برای تعیین معنی‌‌داری اختلاف بین میانگین یک متغیر با یک مقدار ثابت که مقدار آزمون نامیده‌ می‌شود،‌ به کار می‌رود. مهم‌ترین نکته در استفاده از آزمون t تک‌نمونه‌ای، انتخاب مقدار آزمون است که باید یک نقطه وسط‌ را بیان کند.
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت nefo.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

اگر فرضیه‌ای در خصوص میانگین یک جامعه آماری طراحی شود، با بهره گرفتن از مراحل آزمون فرض آماری می‌توان صحت یا سقم فرضیه را در سطح معنی‌دار α تعیین کرد. مراحل چهارگانه آزمون فرض آماری برای_x μ به شرح زیر است.

1. 1. فرض‌ها: در این تحقیق از آزمون یک دنباله چپ استفاده شده است:

آماره آزمون: در این تحقیق آماره آزمون عبارت است از:

: میانگین نمونه
: انحراف معیار نمونه

1. 1. مقدار بحرانی:مقادیر بحرانی نیز برحسب توزیع x و نوع آماره آزمون از جدول t استیودنت استخراج می‌شود.

1. 1. تصمیم‌گیری:در این مرحله مقدار آماره آزمون محاسبه‌شده با مقدار بحرانی مرحله سوم مقایسه می‌شود. اگر آماره آزمون در ناحیه پذیرش H₀قرار گیرد، فرض H₀ در سطح اطمینان (αـ۱)۱۰۰ درصد پذیرفته می‌شود. در غیر این صورت داده‌های نمونه دلیل محکمی بر تأیید H₀ ارائه نداده و آن را رد می‌کند (آذر و مؤمنی، ۱۳۸۵: ۲/۱۰۱).

۳ـ۱۰ـ۲٫ آزمون رتبه‌بندی فریدمن
در آزمون فریدمن، نمرات مربوط به هر فرد رتبه‌بندی می‌شود (مثلاً اگر اندازه‌ها مربوط به پنج نقطه زمانی باشند، این پنج مقدار را از ۱ تا ۵ رتبه می‌دهیم). سپس هر مقدار را با رتبه مناسبی تعویض می‌کنیم.
فرضیه صفر یکسان بودن توزیع‌های جامعه در هر نقطه زمانی است که به عنوان مثال میانه‌‌های جامعه مساوی‌اند. در صورت درست بودن فرضیه صفر، بررسی مقادیر مربوط به هر نقطه زمانی خاص ترکیبی از رتبه‌ها را آشکار می‌کند. اگر میانه‌های جامعه‌ها اختلاف داشته باشند در آن صورت برای لااقل یک نقطه زمانی رتبه‌ها باید به‌طور عمده‌ای بالا یا پایین باشند (اسپرنت^[۹۳] و اسمیتون،^[۹۴] ۱۳۸۶: ۲۷۶).
در آزمون فریدمن نمرات حاصله از k موقعیت یا فرصت وارد می‌شود. محقق علاقه‌مند به تعیین تغییرات معنی‌دار آزمودنی‌ها در تمام موقعیت‌ها و فرصت‌های مورد اشاره است. در یک طرح آزمودنی‌های جورشده، آزمودنی‌ها در مجموعه‌هایی با k شرکت‌کننده جور می‌شوند و هر آزمودنی در یک مجموعه، بر اساس یک مقیاس اندازه‌گیری، یک‌بار سنجیده می‌شود. هر مجموعه از آزمودنی‌ها در پرونده‌ داده‌های SPSS یک رکورد و k متغیر است. نمرات به‌دست‌آمده از مقیاس اندازه‌گیری برای هر آزمودنی درون یک مجموعه، در این متغیرها وارد می‌شوند. سؤال تحقیق این است که آیا نمرات تحت k موقعیت، تفاوت معنی‌داری با یکدیگر دارند یا خیر؟ (زرگر، ۱۳۸۰: ۵۶۶).
در صورتی که متغیر وابسته در مقیاس رتبه‌ای اندازه‌گیری شده باشد، برای مقایسه چند گروه، از آزمون فریدمن استفاده می‌شود. در این آزمون، داده‌ها در جدولی با N سطر و K ستون تنظیم می‌شود. سطرها نشانگر آزمودنی‌ها یا مجموعه‌ای از آزمودنی‌های همتاشده و ستون‌ها نمایانگر شرایط مختلف است. داده‌های هر سطر جداگانه رتبه‌گذاری می‌شود. آزمون فریدمن، این احتمال را که رتبه‌های ستون‌های مختلف از جامعه واحدی به دست آمده است، دارای میانه واحدی است، می‌آزماید. در واقع فرض صفر این است که K رتبه همسو است (سرمد و بازرگان، ۱۳۸۵: ۳۰۵).
هنگام استفاده از آزمون فریدمن، تمامی k تیمار به گونه‌ای تصادفی به n بلوک تخصیص می‌یابند. بعد از آنکه مشاهدات برای هر ترکیب تیمار ـ بلوک ثبت شدند، داده‌ها در یک جدول دوبعدی که در آن هر سطر بیانگر یک بلوک و هر ستون بیانگر یک تیمار است، نمایش داده می‌شوند. بنابراین، جدول داده‌ها متشکل از n سطر و k ستون است. در هر سطر داده‌ها رتبه‌بندی می‌شوند. در این صورت، آزمون فریدمن به دنبال تحلیل مجموع رتبه‌های ستون‌ها (تیمارها) است.
آماره آزمون فریدمن به این صورت است:

که در آن، k تعداد تیمارها، n تعداد بلوک‌ها و Rj مجموع رتبه‌های j امین ستون (تیمار) است، آماره آزمون تقریباً دارای توزیع با (k-1) درجه آزادی است (آذر و مؤمنی، ۱۳۸۵: ۲/۳۱۴).
در آزمون فریدمن، مشاهدات از مجموعه‌‌های k مشاهده‌ای است. مشاهدات درون یک مجموعه، وابسته، اما مشاهدات بین مجموعه‌ها، مستقل می‌باشند. در آزمون فریدمن فرضیه صفر برابری میانه‌های جامعه برای k سطح یک عامل را بیان می‌کند (زرگر، ۱۳۸۰: ۵۶۸).
با توجه به اینکه آزمون فریدمن به دنبال تحلیل مجموع رتبه‌هاست، نرم‌افزار SPSS میانگین رتبه‌های مربوط به هر یک از متغیرها را محاسبه می کند.
۳ـ۱۰ـ۳٫ استفاده از آزمون‌های تکمیلی
از مقایسه‌های تبعی یا پس از تجربه، زمانی استفاده می‌شود که در تحلیل واریانس، فرض صفر رد شود و فرضیه مخالف پذیرفته شود؛ یعنی دست‌کم میانگین دو گروه (جامعه) با هم اختلاف داشته باشند. در شروع کار، پژوهشگر ممکن است هیچ پرسشی در مورد اینکه اختلاف میانگین کدام گروه‌ها معنی‌دار است نداشته باشد، ولی بعد از رد H₀ علاقه‌مند به این موضوع شود. پژوهشگران تازه‌کار بعد از رد H₀ در تحلیل واریانس ممکن است کار خود را خاتمه‌یافته تلقی کنند، ولی پژوهشگران کهنه‌کار رد H₀ را شروع دیگری می‌دانند (آذر و مؤمنی، ۱۳۸۵، ۲/۱۷۱).
در صورت وجود بیش از دو سطح در عامل مورد نظر،‌ اجرای آزمون‌های تکمیلی برای آزمون فریدمن مورد نیاز است. این آزمون‌های تکمیلی اغلب شامل مقایسه‌های دوبه‌دو است (زرگر، ۱۳۸۰: ۵۶۸).
پس از معنی‌دار شدن اختلاف میانه‌ها در آزمون فریدمن، آزمون‌های تکمیلی برای مقایسه دوبه‌دو بین میانه‌ها اجرا خواهد شد. با SPSS، استفاده از آزمون ویلکاکسون^[۹۵] به عنوان آزمون‌های تکمیلی آسان‌تر است (زرگر، ۱۳۸۰: ۵۷۵).
روش LSD^[96] یا کمترین تفاوت معنی‌دار را فیشر^[۹۷] ارائه کرده و مستلزم محاسبه کوچک‌ترین تفاوت معنی‌دار ممکن بین دو میانگین است. این روش دقیقاً مبتنی بر همان شیوه‌ای است که از طریق آزمون t استیودنت و با به کار بردن واریانس درون گروه‌ها (واریانس ناشی از خطا) در مقایسه‌های دوتایی طرح‌ریزی شده است (آذر و مؤمنی، ۱۳۸۵: ۲/۱۷۲).
۳ـ۱۰ـ۴٫ آزمون ویلکاکسون
کاری که «آزمون رتبه علامت‌دار» (Wilcoxon) می‌کند، این است که وزن‌های بیشتر را به علامت‌هایی می‌دهد که از صفر دورند. در آزمون رتبه علامت‌دار، تفاضل‌های زوجی برحسب قدر مطلق مقادیرشان مرتب می‌شوند. تفاضل‌های صفر را کنار می‌گذاریم و اگر قدر مطلق دو یا چند تفاضل یکسان باشند، به هر یک از آنها میانگین رتبه‌هایی را که توأماً اشغال می‌کنند، تخصیص می‌دهیم. برای تشکیل آماره آزمون T⁺، رتبه‌های مربوط به مشاهدات مثبت را با هم جمع می‌کنیم.
برای مقادیر کوچک n، آزمون فرض صفر چه برای آزمون یک‌نمونه‌ای و چه برای آزمون زوج‌نمونه‌ای، مبتنی بر جداول خاصی است. ولی برای مقادیر بزرگ n، n≥۱۵، توزیع T⁺ تقریباً نرمال است و برای انجام آزمون نیاز به امید ریاضی و واریانس آن داریم.
تحت فرض صفر، امید ریاضی و واریانس T⁺ عبارت است از:

(آذر و مؤمنی، ۱۳۸۵: ۲/۲۹۱ـ۲۹۲).
یک نمونه nتایی از دوتایی‌های زیر در نظر می‌گیریم:
(X₁,Y₁), (X₂,Y₂), … , (X_n,Y_n)
متغیر Z از تفاضل دو متغیر فوق تشکیل می‌شود:
Z_i = Y_i – X_i
در آزمون رتبه‌ای ـ نشانه‌ای ویلکاکسون نه‌تنها نشانه Z_iها بلکه رتبه قدر مطلق آنها یعنی رتبه ها مورد استفاده قرار می‌گیرند.
در این آزمون، فرض می‌کنیم Z دارای توزیع پیوسته و متقارن نسبت به c باشد. می‌خواهیم مثلاً آزمون یک‌طرفه زیر را انجام دهیم:

برای این کار، نخست نمونه تصادفی Z₁, Z₂, … , Z_n را در نظر می‌گیریم. رتبه‌های را به‌ترتیب با R₁, R₂, …, R_n نشان می‌دهیم. واضح است که این رتبه‌ها درست یک جایگشت برای ۱, ۲, …, n می‌باشند. حال تابع نشانگر:

را در نظر می‌گیریم و فرض می‌کنیم که، برای U_i = I(Z_i), i = 1, 2, … , n
متغیرهای تصادفی U₁, U₂, …, U_n هم‌توزیع و مستقل می‌باشند. آماره

به آماره رتبه‌ای ـ نشانه‌ای ویلکاکسون شهرت دارد. اگر W خیلی بزرگ شود، معلوم می‌شود که تعداد زیادی از یافته‌های نمونه Z₁, Z₂, … , Z_n در طرف راست صفر می‌باشند و با صفر فاصله زیادی دارند. پس Z نمی‌تواند متقارن باشد، یعنی H₀ را باید رد کرد. بنابراین، ناحیه بحرانی به صورت W≥k است، که در آن k به خطای α بستگی دارد (بهبودیان، ۱۳۸۷: ۱۲۶، ۱۲۸ و ۱۲۹).
۳ـ۱۰ـ۵٫ ضریب همبستگی رتبه‌ای (اسپیرمن)
چون آزمون معنی‌دار بودن r (ضریب همبستگی پیرسون) مبتنی بر فرضیه‌های دست‌وپاگیری است، بعضی اوقات روش‌های ناپارامتریک را که مبتنی بر شرایط معمولی‌تر هستند، به جای آن به کار می‌بریم. فرض صفر در این آزمون فرض می‌کند که همبستگی وجود ندارد. ضریب همبستگی رتبه‌‌ای را با r_s نشان می‌دهیم. گاهی ضریب همبستگی رتبه‌ای، به افتخار مبتکر آن، «ضریب همبستگی رتبه‌ای اسپیرمن» خوانده می‌شود.