در مدل ساموئلسون، با در نظر گرفتن شرایط کافی مساله (که از رابطه (۴-۵) حاصل می‌شود)، می‌توان به خوش‌اقبالی بودن پس‌انداز بخش خصوصی در هر نرخ بهینه‌ای از جمعیت پی برد. برای اثبات این امر این طور در نظر گرفته می‌شود که شرایط مودیگلیانی-دیاموند برای پس‌انداز خصوصی در حالت تعادل، پایدار است. آن‌چه کارگران به عنوان پس‌انداز انتخاب می‌کنند را فقط باید مطابق با آن‌چه سیستم برای رشد گسترده نیاز دارد برقرار سازد. در نتیجه سرمایه لازم به وسیله شرط پس‌انداز و سرمایه‌گذاری در مدل سیکل زندگی تعیین می‌گردد، البته باید توجه داشت که در این مدل تغییرات تکنولوژی در نظر گرفته نشده است.

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

آرتور و مک نیکل (۱۹۷۷) تصویر واقعی‌تری از این مدل ارائه کردند. آن‌ها اثرات افزایش نرخ رشد جمعیت را با اضافه کردن فروضی از قبیل گسترش مصرف و تولید در یک مدل چرخه زندگی پیوسته، مطلوبیت انتظاری دوران زندگی به عنوان معیار رفاه در نظر گرفتند. به منظور بررسی تغییرات نرخ رشد جمعیت و اثرات آن‌ها زمان پیوسته در نظر گرفته می‌شود و نیز وابستگی سن را مشابه مدل نئوکلاسیکی که آرتور و مک نیکل در سال ۱۹۷۷ به کار برده‌اند، استفاده می‌شود. توزیع سنی جمعیت در این‌جا پیوسته در نظر گرفته شده است، اقتصاد هیچ کالای مصرفی را ذخیره نمی‌کند، نیروی کار و سرمایه به عنوان ورودی درنظر گرفته شده‌اند و نیز تابع تولید دارای بازده‌ای ثابت به مقیاس است. تولید مصرف و یا سرمایه‌گذاری می‌شود و هم‌چنین فرض می‌شود که جمعیت پایدار است و با یک نرخ نمایی رشد می‌کند.
در این مدل، تعداد افرادی که متولد می‌شوند ، تعداد نیروی کار و تعداد کل افراد با مشخص می‌شوند. یعنی:
(۴-۶)
(۴-۷)
(۴-۸)
که در اینجا بیان‌گر سن افراد، پارامتر احتمال زنده ماندن افراد پس از تولدشان را نشان می‌دهد و نیز پارامتر مقدار مشارکت در نیروی کار را نمایش می‌دهد. ، نیز بیان‌گر کران بالا در طول زندگی افراد است.
مصرف سرانه در طول چرخه زندگی تغییر می‌کند، به طوری که مصرف کل برابر است با:
(۴-۹)
در ادامه با فرض این که جامعه به حالت پایدار سولو رسیده است-یعنی حالتی که نرخ رشد جمعیت برابر با نرخ رشد اقتصادی است و متغیرهای سرانه در طول زمان ثابت هستند- و در نظر گرفتن محدودیت بودجه جامعه (رابطه ۳-۱۸)، معادله‌ای به دست می‌آید که شرط حداکثر شدن مصرف سرانه است:
(۴-۱۰)
بعد فرض می‌شود افراد طوری مصرف سرانه را حداکثر می‌کنند که رفاه انتظاری طول دوره زندگی‌شان حداکثر شود:
(۴-۱۱)
در کل، آن‌ها باید محدودیت بودجه جامعه و نیز قاعده پس‌انداز را برای جامعه فراهم کنند. در سطح خرد، یک نرخ بهره بازاری، به عنوان یک قید عمل می‌کند به طوری که مصرف را از تولیدکنندگان به وابسته‌ها (کودکان وپیرها) انتقال می‌دهد. به این معنی که وام با بهره در مراحل بعدی زندگی به عنوان تولید جدید بازپرداخت می‌شود و سیستم مالیات دولت به عنوان قاعده پس‌انداز عمل می‌کند. آن‌چه مهم است این است که جامعه طوری عمل کند که رفاه فردی با توجه به محدودیت‌های جامعه و نیز قاعده پس‌انداز حداکثر شود. طبق این توضیح، الگوی مصرف افراد طوری تعیین می‌شود که رشد بهره با رشد جمعیت برابر شود. یعنی:
(۴-۱۲)
که این مشابه همان شرط نرخ بهره حیاتی ساموئلسون است.
حال با داشتن معادله مربوط به رفاه انتظاری طول زندگی، در این مدل، اثرات ناشی از افزایش جمعیت به روی رفاه را می‌توان مشاهده نمود. با گرفتن دیفرانسیل کامل از رابطه رفاه و ساده‌سازی‌های ریاضی که از روابط (۳-۲۳)، (۳-۲۴) و (۳-۲۵) فصل سوم استفاده شده است، رابطه زیر حاصل می‌شود:
(۴-۱۳)
اثرات کل رفاه زندگی، ناشی از افزایش جمعیت به صورت زیر بیان می‌شود:
اثر گسترش سرمایه+ اثر انتقالی بین نسلی اثر رفاه زندگی
تحلیل نتیجه نهایی حاصل از مدل را می‌توان به این صورت بیان نمود:
در حالی که اثر گسترش سرمایه همیشه منفی است، اثر انتقال بین نسلی می‌تواند مثبت یا منفی باشد. در کشورهای در حال توسعه و کمتر توسعه یافته، معمولا سن متوسط مصرف، چهار سال کمتر از سن متوسط کار می‌باشد. بنابراین اثر انتقالی بین نسلی نیز مانند اثر گسترش سرمایه منفی است. دو ویژگی خاص در این تحلیل، در عمل مهم است:
۱- تغییرات تکنیکی که می‌تواند بهره‌وری نیروی کار جدید را بهبود بخشد، و سن نیروی کار را به طور قابل ملاحظه‌ای پایین آورد و این می‌تواند اثر انتقالی بین نسلی را مثبت سازد. در نتیجه اثر رفاه زندگی را مثبت سازد.
۲- این تجزیه تحلیل به رشد پایدار جمعیت محدود شده است. اثر انتقال بین نسلی می‌تواند با تغییر ساختار سنی جمعیت بیشتر یا کمتر شود.
اکنون از دو جنبه به تحلیل نظریات و مدل ساموئلسون در خصوص نظریه نرخ بهینه رشد جمعیت و قضیه خوش‌اقبالی می‌پردازد. انتقاد اول در قالب ریاضی و اقتصادی و انتقاد دوم در قالب تحلیل اقتصادی به مدل مذکور وارد می‌گردد.

۴-۳) تحلیل نظری و امکان‌پذیری نرخ رشد بهینه بی‌نهایت برای جمعیت از دیدگاه ریاضی و اقتصادی

در این‌جا برای اینکه بتوان نشان داد که هر نرخ رشد بهینه جمعیت به هر اندازه می‌تواند امکان‌پذیر باشد دو نکته مورد توجه قرار می‌گیرد^[۸۱]:
۱- نرخ رشد جمعیت از جهت افزایشی حد نمی‌خورد، اما در جهت کاهشی حد می‌خورد.
برای دقت بیشتر به این نکته، از تعریف نرخ رشد استفاده می‌شود:
(۴-۱۴)
حال دو فرض را می‌توان برای معادله فوق بیان نمود:
الف) مقدار در جهت افزایشی تا بی‌نهایت امکان‌پذیر است، در نتیجه طبق فرمول فوق نرخ رشد در جهت افزایشی تا بی‌نهایت امکان‌پذیر است و حدی برای آن قابل تصور نیست.
ب) مقدار در جهت کاهشی، حداقل می‌تواند به صفر برسد، در نتیجه طبق فرمول فوق حداقل نرخ رشد می‌تواند ۱۰۰ درصد باشد، یعنی در جهت کاهشی نرخ رشد حد می‌خورد.
(۴-۱۵)
این‌که مقدار در جهت کاهشی، حداقل می‌تواند صفر باشد، اندکی جای تامل دارد. یعنی کمتر از صفر نمی‌تواند باشد و معنا ندارد! در نتیجه بازه‌ی زیر را برای نرخ رشد می‌توان تعریف نمود:

و یا بر حسب درصد داریم:

همان‌طور که مشاهده می‌شود نرخ رشد از جهت کاهشی حد می‌خورد، در صورتی که از جهت افزایشی حد نمی‌خورد.
حال نکته دوم تحلیل می‌شود:
۲- تحت فروض معین (توابع تولید و مطلوبیت خاص) هر نرخ رشد جمعیت (بی‌نهایت) امکان‌پذیر است.
با توجه به توابع مطلوبیت و تولید در نظر گرفته شده زیر:
(۴-۱۶)
(۴-۱۷)
با توجه به حاکم کردن قضیه خوش‌اقبالی و شرایطی که رفاه اجتماعی را حداکثر می‌کند، نرخ رشد بهینه مورد نظر برای رشد جمعیت به صورت زیر به دست می‌آید:
(۴-۱۸)
حال در صورتی نرخ رشد جمعیت به بی‌نهایت میل می‌کند که مخرج کسر برابر با صفر گردد، یعنی:
(۴-۱۹)
در نتیجه خواهیم داشت:
(۴-۲۰)
حال با توجه به تعریف مقدار به صورت زیر:
(۴-۲۱)
و جایگذاری آن در رابطه (۴-۲۰) خواهیم داشت: