برای حل این معادله به­علت عدم تقارن و دلخواه بودن شکل محیط پراکنده­کننده، از تابع گرین کمک می­گیریم. بنابراین معادله­ گرین را به شکل زیر تشکیل می­دهیم:

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

(۲-۵)
همچنین می­توان رابطه­ (۲-۲) را به­ صورت زیر نوشت:
(۲-۶)
اکنون دوطرف معادله­­ی (۲-۶) را در ضرب کرده از دو طرف معادله­ حاصل در کل محیط اطراف پراکنده کننده انتگرال حجمی می­گیریم. دراین­حالت به کمک رابطه­ (۲-۵)، (معادله گرین) خواهیم داشت:

(۲-۷)
به­سادگی و براساس تعریفی که از تابع گرین انجام داده­ایم، مشخص است که جمله­ اول عبارت سمت راست تساوی معادله­ بالا، برابر میدان تابشی است. بنابراین داریم:
(۲-۸)
از این مرحله به بعد معادله به یک معادله­ انتگرالی غیرخطی بدرفتار تبدیل می­ شود که حل آن معادل حل مسئله­ پراکندگی معکوس است.
روش های پراکندگی معکوس
در ادامه به ­صورت گذرا به روش های مختلف کمی و کیفی پراکندگی معکوس اشاره خواهد شد.
تقریب برن
دریکسری از مسائل، درمورد جسم تحت بررسی اطلاعات اولیه­ای در دست است. در نتیجه، برای جسم می­توان یک مدل تقریبی ارائه داد. وقتی که جسم پراکنده­ساز نسبت به محیط انتشاری اطراف خود پراکنده­ساز ضعیف محسوب می­ شود، تقریب برن^[۲۳] قابل استفاده است. ساده­ترین تقریب برن، تقریب مرتبه اول است. در این تقریب، معادله پراکندگی بصورت زیر تغییر پیدا می کند:

(۲-۹)
که برابر است. چون طبق فرض، پراکنده­ساز ضعیف است، بنابراین می­توانیم از دربرابر صرف­نظر کنیم. در این حالت معادله­ زیر حاصل می­ شود که معادله­ای خطی است:
(۲-۱۰)
این معادله، تقریب اول برن محسوب می­ شود. تقریب برن هم در مسائل مستقیم )یعنی محاسبه میدان ناشی از یک پراکنده ساز ضعیف( و هم در مسائل معکوس، کاربرد دارد. برخلاف معادله اصلی که هم و هم که خود تابع است مجهول بودند و در نتیجه مساله فرم غیرخطی داشت، در تقریب مرتبه اول برن تنها مجهول بوده و مساله خطی شده است. برای افزایش دقت تقریب برن می­توان مرتبه تقریب را افزایش داد. روش این افزایش مرتبه، استفاده از یک الگوریتم تکرار است. تقریب مرتبه­ی ام برن از طریق رابطه زیر بدست می آید:[۱]

(۲-۱۱)
روش های تقریب دیگری نیز وجود دارد که از جمله­ آنها عبارتند از: تقریب ریتوف، تقریب نور فیزیکی و…
روش تکرار برن
روش تکرار برن برگرفته از تقریب برن است. در حالاتی که تقریب برن به جواب نمی­رسد این روش انعطاف بیشتری دارد. در این روش طبق رابطه (۲-۸) می­توان به­سادگی دریافت که حاصل انتگرال جمله دوم عبارت سمت راست معادل میدان پراکندگی است. برای محاسبه عددی انتگرال رابطه (۲-۸) مقدار میدان پراکندگی را از طریق تقریب برن به­دست می­آوریم. سپس مجموعه انتگرال را با سلول­بندی محیط محاسبه تبدیل به جمع با مقادیر مجهول می­کنیم. این مقادیر مجهول با معرفی تابع هزینه که اختلاف میدان دریافتی و میدان محاسبه طبق توضیحات گذشته است طی یک فرایند بهینه­سازی تعیین می­شوند. بنابراین روش تکرار برن در حوزه روش های بهینه­سازی قرار می­گیرد. مقادیر بدست آمده برای مجهول طی این فرایند بهینه­سازی مقادیری است که اختلاف میدان واقعی و میدان محاسبه شده به­ازای آن کمترین مقدار است. بنابراین می­توان نتیجه گرفت که محیط محاسبه شناسایی شده است.[۱]
روش بهینه سازی
از جمله روش­های مهم پراکندگی معکوس ، روش بهینه­سازی است. همانطور که از اسمش بر می ­آید این دسته روش­ها مبتنی بر تعیین شکلی از تابع و بهینه کردن آن هستند. به عنوان مثال تابعی با عنوان تابع هزینه معرفی می­ کنند که برابر اندازه اختلاف میدان ناشی از جسم پراکنده کننده (میدان اندازه ­گیری^[۲۴]) و ناشی از محاسبه جسم حدس زده شده (میدان محاسبه شده^[۲۵]) است. سپس طی فرایند­های بهینه­سازی این تابع را کمینه^[۲۶] می­ کنند و خروجی مقادیر کمینه کننده تابع هزینه را به عنوان جواب مسئله درنظر می­گیرند. مسئله پایداری در این­گونه مسائل بوجود می ­آید. مثلاً اگر به عنوان مقدار اولیه که لازمه شروع حل مسئله به کمک روش­های بهینه­سازی است مقادیری دور از مقادیر مطلوب انتخاب شود احتمالاً پروسه بهینه­سازی با شکست مواجه خواهد شد. بنابراین یکی از ضعف­های این دسته از روش­ها نیاز به مقادیر اولیه مناسب است که این مورد نیاز به اطلاعات جزئی از محیط و جسم پراکنده کننده را واجب می­سازد. برای ایجاد پایداری همچنین از اضافه کردن جملات کمکی به تابع هزینه استفاده می­ شود که ضریب تنظیم^[۲۷] نام دارد.[۲]
روش نمونه برداری خطی
این روش در گروه روش­های کیفی که هدف آنها شناسایی شکل و موقعیت جسم است قرار می­گیرد. در روش نمونه­برداری خطی^[۲۸] معادله الگوی میدان دور^[۲۹] جسم به نام معادله فردهلم^[۳۰]درنظر گرفته می­ شود. مجهول که خود تابعی در داخل انتگرال است از طریق روش­های معکوس­سازی به دست می ­آید. جاهایی که مجهول در آن مقدار بزرگتری دارد به هدف نزدیک­تر و شاید در داخل هدف قرار دارند و مقادیر کوچکتر فاصله بیشتری از هدف خواهند داشت. بنابراین با مشخص کردن مقدار آستانه^[۳۱] و مقایسه مقادیر به دست آمده به صورت سلول به سلول موقعیت جسم استخراج می­ شود. در شناسایی با این روش از تنظیم تیخونوف^[۳۲] استفاده می­گردد. مهمترین ویژگی این روش نیاز به زمان کوتاه برای پردازش است. مهمترین اشکال این روش نیز نیاز به اطلاعات اولیه زیاد برای رسیدن به جواب مطلوب است.[۳]
روش تنظیم سطح
این روش نیز در گروه روش­های کیفی قرار دارد. روش تنظیم سطح روش قدرتمندی برای شناسایی موقعیت و شکل اجسام است. دو ویژگی اصلی این روش نیاز به اطلاعات کم و شناسایی چند جسم جدا از هم بدون داشتن اطلاعات اولیه از آنهاست. ایراد اساسی نیز زمان­بر بودن آن است. در این روش مثلاً برای حالت دوبعدی یک تابع سه­بعدی تعریف می­ شود و سطح صفر آن استخراج و میدان ناشی از آن محاسبه و با میدان جسم اصلی مقایسه می­ شود. در واقع این روش نیز به گونه ­ای در حوزه روش­های بهینه­سازی قرار می­گیرد. با این تفاوت که از الگوریتم بهینه­سازی خاصی استفاده نمی­ شود. بلکه از طریق تعیین ضریبی مناسب معادله­ای حل می­ شود و خروجی آن تابعی سه­بعدی است که سطح صفر آن استخراج و با شکل اصلی مقایسه و اختلاف آنها دوباره برای تعیین ضریب مناسب جدید به کار گرفته می­ شود.[۴]
سایر روش­ها
روش­های مختلف دیگری نیز همچون روش موزیک^[۳۳][۵]، رادار روزنه ترکیبی^[۳۴][۶]، پرتونگاری تفرقی^[۳۵][۷]، نیوتن­کانتروویچ^[۳۶][۸]، معکوس زمانی^[۳۷] [۹]و … وجود دارد که پاره­ای براساس بهینه­سازی و دسته­ای در حوزه زمان و دسته­ای براساس یک الگوی تکراری مناسب به شناسایی جنس و موقعیت و شکل جسم می­پردازند.
تئوری روش تنظیم سطح و پیاده سازی آن جهت شناسایی موقعیت و شکل اجسام فلزی دوبعدی برای مد انتشاری TM
در این فصل روش تنظیم سطح که مبنای ریاضی دارد و اولین بار توسط ستیان^[۳۸] و اوشر^[۳۹][۱۰] در سال ۱۹۸۸ معرفی گردید و مراحل مختلف آن توضیح داده می­ شود؛ سپس ارتباط آن با پراکندگی معکوس و روش­ پیاده­سازی آن توضیح داده خواهد شد.
تئوری
تابع علامت فاصله
در حالت دو بعدی، تنظیم سطح اساساً یعنی تعیین خم مورد نظر از یک تابع سه بعدی که از تقاطع آن تابع با یکی از سطوح مختصات کارتزین (صفحه x یا y یا z) حاصل می­ شود. در حالت خاص با تعریف تابعی برحسب x,y که تابع تنظیم سطح نام دارد و انتخاب سطح z دلخواه که اشتراک با تابع داشته باشد، به یک یا مجموعه ای از چند خم بسته می­رسیم. این تابع را می­توان به شکل تابع علامت فاصله تعیین کرد. علامت از آن جهت که در آن هر نقطه خارج خم یا خم­های بسته مختصاتی دارد که این مختصات مقدار تابع را مثبت می­ کند، نقاط داخل خم مقدار تابع را منفی می­ کند و نقاط روی خم باعث صفر شدن مقدار تابع می­ شود. فاصله هم به این مفهوم که جنس تابع از نوع فاصله دو نقطه از هم باشد. تعریف دقیق تابع علامت فاصله نسبت به کانتورسطح صفر یک تابع سه­بعدی به این صورت است: مقدار تابع علامت فاصله در هر نقطه عبارت است از کمترین فاصله آن نقطه تا نقاط سطح صفر. بنابراین چون جنس این تابع از جنس فاصله است، اندازه گرادیان آن برابر یک خواهد بود.
در حالت یک بعدی تابع را درنظر بگیرید؛ همانطور که در شکل ‏۳–۱ مشخص است، اگر معیار ما برای تعیین نقاط داخل یا بیرونی، محور x باشد با قرار دادن و یافتن ریشه ها به این نتیجه می­رسیم که با توجه به شکل، نقاط ریشه ­های تابع است و بنابراین دامنه نقاطی است که در آن مثبت می­ شود، درنتیجه این نقاط در خارج منحنی قرار دارند، مجموعه که تابع در آنها منفی است نقاط درون منحنی هستند و نقاط نقاط روی منحنی می­باشند.[۱۱] شکل ‏۳–۱ را ببینید. یعنی تابع ذکر شده تابع فاصله است. نکته­ای که در اینجا قابل ذکر است این است که چون منحنی خود دوبعدی است، مرزی که برای آن متصور است یک­بعدی خواهد بود (یک یا چند نقطه متناهی)، درصورتی که اگر منحنی سه­بعدی مورد بحث باشد، مرز جداکننده بصورت یک خم بسته تعریف می­ شود. برای این که بتوان تابع علامت فاصله معادل آن تعیین کرد باید معادله­ای بیابیم که نقاط صفر آن با نقاط صفر تابع یکسان و اندازه گرادیان آن نیز یک باشد. به عنوان مثال تابع تابع علامت فاصله معادل تابع فاصله ذکر شده است. چراکه نقاط صفرکننده آن یکسان و اندازه گرادیان آن به­جز در برابر یک است. (مشتق­پذیر نبودن در یک نقطه یا یک مسیر در کلیت حل مشکلی ایجاد نمی­کند[۱۱]). یک مثال ساده دیگر معادله است. اگر بخواهیم این معادله سه­بعدی را رسم کنیم به صورت شکل ‏۳–۲ خواهد بود. با توجه به شکل، نقاطی که در آن می­ شود دایره­ای به شعاع یک واحد در دو بعد خواهد بود. این دایره به­سادگی از فصل مشترک صفحه و معادله بدست می ­آید. شکل ‏۳–۲ را ببینید.
شکل ‏۳–۱: مثالی برای توضیح تابع علامت فاصله در حالت دوبعدی
نکته مهم و البته واضح در این شرایط، نقاط بیرونی دایره هستند که مقدار را مثبت و نقاط درونی دایره که مقدار آن را منفی می­ کنند و نقاط روی دایره که ریشه بوده و درنتیجه مقدار آن را صفر می­نمایند. بنابراین در حالت سه­بعدی مجموعه نقاط صفر کننده مقدار تابع خود یک یا چند منحنی دوبعدی و در حالت چهاربعدی مجموعه نقاط صفرکننده مقدار تابع، تشکیل دهنده سطوح سه­بعدی هستند. یک نمونه تابع علامت فاصله برای این تابع، است.
این مورد نیز سطح صفر یکسان با تابع فاصله و اندازه گرادیان برابر یک دارد.
همانگونه که از معنای تحت­اللفظی تنظیم سطح برمی­آید، اساس این روش، تعیین سطح صفر تابع است که در یک تابع سه­بعدی یک یا چند خم بسته، یک یا چند نقطه و یا مجموعه تهی خواهد بود. در حقیقت به کمک اطلاعات از قبل تعیین شده یا طبق فرضیات مسئله تابع مشخصی را از طریق این روش تغییر شکل می­دهیم و سپس نقاط صفر کننده را استخراج می­نماییم، در صورتی که این نقاط مطلوب باشد، استخراج می­ شود، وگرنه به عنوان تابع اولیه در حل مجدد مسئله تنظیم سطح به کار برده می­ شود. روابط ریاضی در ادامه تشریح می­ شود تا توضیحات روشن­تر شود. مهمترین ویژگی که در این روش به چشم می ­آید این است که براثر تکامل تدریجی که توضیح داده شد منحنی تشکیل دهنده سطح صفر می­­تواند به مرور زمان و با تکرار تبدیل به چند منحنی سطح صفر^[۴۰] و یا چند منحنی سطح صفر می ­تواند براثر تکرار به هم رسیده تشکیل منحنی بسته واحدی را بدهند^[۴۱]، با گریزی به مفهوم پراکندگی معکوس می­توان به این نتیجه رسید که در صورتی که حدس اولیه مثلاً یک منحنی باشد و مطلوب چند جسم مختلف در محیط تحت بررسی باشد، این منحنی واحد این قابلیت را خواهد داشت که بدون اطلاعات اضافی و فقط به کمک میدان­های اطراف جسم، از هم جدا شده و محل اجسام مختلف را شناسایی کند، و نیز می­توانیم با حدس اولیه چند منحنی شروع کنیم و به جسم واحدی که در نقطه دلخواهی از محیط تحت بررسی قرار گرفته است برسیم.
شکل ‏۳–۲: مثالی برای توضیح تابع علامت فاصله در حالت سه ­بعدی؛ تابع فاصله
شکل ‏۳–۳ مثالی است که بیان می­ کند با توجه به منحنی سه­بعدی می­توانیم به سادگی این انتظار را داشته باشیم که با گذشت زمان منحنی دوبعدی از هم جدا یا به هم وصل شود.
معادله همیلتون-ژاکوبی
در این قسمت نگاهی اجمالی به روابط مربوط به روش تنظیم سطح می­اندازیم. روابطی که در نهایت تبدیل به معادله دیفرانسیلی همیلتون-ژاکوبی می­ شود. فرض می­کنیم که تابع مورد نظر تنظیم سطح که با z نمایش می­دهیم دارای مجموعه نقاطی از x,y باشند و به صورت زیر تعریف می­شوند:
(۳-۱)
(۳-۲)
درنتیجه این دو تابع را باهم قطع می­دهیم. خواهیم داشت:
(۳-۳)

شکل ‏۳–۳: با تغییر سطح می­ توان منحنی ­های بسته را یکی یا چندگانه کرد[۱۲]