(۲-۱۱۱)

که

{x} بردار ویژه معادله حالت است. در مرحله بعد از تکنیک جاروب فرکانس­های کاهش یافته جهت مشخص نمودن استفاده می شود. در این روش مقادیر ویژه D بر حسب g محاسبه می شود. محاسبه مقادیر ویژه از k=0 آغاز شده و تا با بازه مشخص ادامه می­یابد.
جهت مشخص نمودن فلاتر تنها کافیست تغییر علامت مقادیر ویژه را مشخص نموده و با محاسبات ساده خطی مقدار فرکانس و سرعت را مشخص نمود. هنگامی که مقادیر ویژه صفر می­شوند در صورت صفر شدن فرکانس پدیده واگرایی روی می دهد.
فصل سوم
تعیین فرکانسهای طبیعی و شکل مودها
۳-۱- مقدمه
همانگونه که در فصل دوم عنوان گردید، اثرات انعطاف پذیری سازه در معادلات حرکت به صورت عباراتی برحسب فرکانس طبیعی و شکل مود­ها و نیز جرم­های نرمالیزه بیان می­گردد. لذا جهت شبیه سازی پرواز هواپیمای الاستیک نیاز به تحلیل مودال سازه و بدست آوردن فرکانس­های طبیعی و شکل مودها می­باشد. برای این منظور روش­های گوناگونی می تواند مورد استفاده قرار گیرد. یکی از این روش­ها روش شکل مودهای فرضی^[۲۶] می­باشد[۴۳]. همچنین به منظور بدست آوردن فرکانس­های ارتعاشی سازه می توان از روش المان محدود^[۲۷] استفاده نمود [۵۰]. در این فصل ابتدا روش­های عددی مورد استفاده جهت محاسبات مهندسی به صورت مختصر بیان شده سپس روش­های بدست آوردن فرکانس­های طبیعی و شکل مودها به تفصیل معرفی می گردند.

۳-۲- روش­های عددی
در یک سازه تحت بارگذاری اگر بخواهیم با بهره گرفتن از تئوری الاستیته وضعیت تنش ها و کرنش ها را مشخص کنیم این کار بسیار مشکل است چرا که تحلیل اینگونه مسائل مهندسی منجر به معادلات دیفرانسیلی می شود که حل آنها با روش های ریاضی غالباً دشوار است.
البته می­دانیم که حل این معادلات پاسخ دقیق این مسئله را ارائه می دهد اما در مورد یک شکل هندسی خاص با یک بارگذاری مشخص اگر بارگذاری را تغییر دهیم نیاز به حل جدیدی خواهیم داشت که این امر موضوع را پیچیده تر می نماید. برای همین موضوع در مسائل مهندسی ترجیح داده می شود که از روش های تقریبی عددی برای حل مسائل استفاده شود.
مهمترین روش های حل عددی که در حل مسائل مهندسی به کار می رود عبارت است از:
روش تفاضل محدود
روش المان محدود
روش المان مرزی
روش حجم محدود
روش PSM
روش تفاضل محدود^[۲۸]
در ابتدا به توضیحی در مورد روش تفاضل محدود می پردازیم در این روش برای حل معادله دیفرانسیل یک عملگر دیفرانسیلی تقریب زده می شود به این ترتیب معادله دیفرانسیل تبدیل به معادله جبری می شود در این حالت هندسه سازه را به بخش های کوچکی تقسیم می­کنیم حال با سر هم کردن معادلات جبری حاکم به این قسمت های کوچک یک دستگاه معادلات جبری به دست می آید با حل این دستگاه مجهولات مسئله به عنوان مثال جابجایی در نقاط مختلف سازه محاسبه می شود این روش بیشتر در ورق­ها و پوسته­ها مورد استفاده قرار می گیرد و لازم به ذکر است که امروزه کمتر از این روش استفاده می شود. ضمناً قبلاً در مسائل سیالاتی نیز از این روش استفاده می شد.
روش المان محدود
روش بعدی روش المان محدود است در این روش ابتدا شکل به بخش های کوچکی به نام المان تقسیم بندی می شود، در این روش معادله دیفرانسیلی تقریب زده نمی شود بلکه جواب این معادله به صورت یک تابع شکل^[۲۹] درجه n تقریب زده می شود. این روش نهایتا به دستگاه معادلات خطی به صورت منجر می شود. که ماتریس [k] ماتریس سختی سازه و بردار A بردار جابجایی گره یا مجهولات مسئله است. بردار F بردار نیروهای خارجی وارد بر گره­های المان­ها می­باشد. با حل این دستگاه مجهولات مسئله به دست می آید.

روش المان مرزی
در روش المان مرزی همانند روش المان محدود جواب معادله تقریب زده می­ شود ولی در اینجا بجای معادلات دیفرانسیل، معادلات انتگرالی خواهیم داشت که حل آن ها به مراتب پیچیده تر از حل معادلات دیفرانسیل است، یکی از تفاوت های دو روش المان محدود و المان مرزی تنها کافیست که مرز سازه در مسائل دوبعدی و یا سطح یا رویه سازه در مسائل سه بعدی تقسیم بندی و آنالیز شود این بدان معنی است که روش المان مرزی یک بعد را کاهش می دهد و در محاسبات بسیار موثر است.
روش حجم محدود
روش حجم محدود^[۳۰] که این روش، روش تفاضل محدود را در بر می گیرد و بیشتر در مسائل سیالاتی و تغییر شکل های بزرگ^[۳۱] کاربرد دارد.
روش PSM
روش آخر روش PSM است که در این روش اولا مش­بندی یا المان­بندی وجود ندارد و شکل به صورت جسم صلب^[۳۲] کشیده شده و به همان صورت تحلیل می شود.
مقایسه روش های عددی
ابتدا روش های عددی را از لحاظ دقت این روش­ها مورد بررسی قرار می­دهیم. در مسائل تحلیل رفتار دبنامیکی سازه دقت روش المان مرزی از روش المان محدود بیشتر است و دقت روش تفاضل محدود از دو روش دیگر کمتر می باشد.
روش تفاضل محدود از لحاظ سادگی به دو روش دیگر برتری دارد و در این میان روش المان مرزی دارای مبنای بسیار پیچیده تری می­باشد. در روش المان محدود و المان مرزی معادلات حاکم بر یک المان برای تمامی المان­ها صادق است ولی در روش تفاضل محدود معادلات مربوط به هر قسمت از سازه به وضعیت آن قسمت بستگی دارد.
روش المان مرزی برای تحلیل مسائل سه بعدی که مخصوصا پاسخ بر روی مرز یا رویه مدنظر باشد بسیار مناسب است برای مواردی که جواب مسئله در داخل مرز سازه مدنظر است و یا حالت هایی که نسبت به سطح حجم سازه زیاد باشد به عنوان مثال در پوسته­ها بهتر است که از روش المان محدود استفاده کنیم.
و نهایتا در مسائلی چون تحلیل غیرخطی مسائل از قبیل پلاستیسیته،خزش و تغییر فرم های بزرگ در روش المان مرزی علاوه بر تحلیل مسئله روی مرز یا رویه بایستی درون سازه نیز المان بندی شده و مورد بررسی قرار گیرد. در این مسائل ترجیح داده می­ شود که از روش المان محدود یا ترکیبی از دو روش المان محدود و المان مرزی استفاده شود. تحلیل غیرخطی داخل مرز سازه و تحلیل الاستیک روی مرز سازه باید انجام گیرد.
روش المان محدود
روش اجزاء محدود به طور گسترده در زمینه مکانیک جامدات و سازه­ها مورد استفاده قرار گرفته است. انواع مختلف مسائلی که با روش اجزاء محدود حل می­شوند شامل تحلیل الاستیک، الاستوپلاستیک، ویسکوالاستیک، خرپاها، قاب­ها، ورق­ها، پوسته­ها و اجسام توپر می باشد. با بهره گرفتن از روش اجزاء محدود می توان هر دو نوع مسائل استاتیکی و دینامیکی را تحلیل نمود.
اولین و ساده ترین مسائلی که از این روش در آن استفاده می شود مسائل استاتیکی است. همانطور که می دانیم یک جسم را نمی توان به صورت آزاد تحلیل استاتیکی نمود. در مسائل ۳ درجه آزادی باید ۳ قید و در مسائل صفحه و غیره باید ۶ قید را بکار برد و اصطلاحا جسم را پایدار ساخت. یعنی برای مثال از هر المانی که استفاده می کنیم در نقاطی از شکل باید آن را ببندیم. برای مثال در یک المان باید در یک گوشه از آن هر۶ درجه آزادی را ببندیم البته این مسئله در مسئله های صفحه و پوسته استفاده می شود و اگر در یک گوشه ۳ درجه آزادی را ببندیم در جهت گوشه دیگر باید ۳ درجه دیگر را هم ببندیم.
حال در این قسمت به معرفی برخی از نرم افزارهای المان محدود و قابلیت های آن­ها می­پردازیم.
نرم افزار ADINA
نرم افزاری است که در تحلیل پلاستیک، محیط­های غیرخطی و تحلیل گذرا کاربرد دارد.
نرم افزار ANSYS
نرم افزار نام آشنای ANSYS در پایداری سازه، محیط های غیرخطی، تحلیل پلاستیک، مکانیک شکست، تنش های حرارتی پوسته های ضخیم، سیستم­های لوله­کشی، تحلیل گذرا و تحلیل ویزکوزیته کاربرد دارد.
نرم افزار ARGUS
در تحلیل پلاستیک، مکانیک شکست، تنش­های حرارتی و مواد مرکب یا کامپوزیت­ها کاربرد دارد.
نرم افزار DYNAL
در سیستم­های لوله­کشی کاربرد دارد.
نرم افزار FLUSH
این نرم افزار در تحلیل زلزله کاربرد دارد.