در رابطه فوق، مختصاتی می باشد که خواص مکانیکی در جهت آن تغییر می کند.
۱-۲-۴-۲ مدل نمائی^[۳۳]
مدل غیر خطی برای توزیع خواص مکانیکی می باشد و به صورت نمائی در نظر گرفته

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

می شود[].

(۱-۵)

از این مدل در تحقیق حاضر برای مدل سازی توزیع خواص مکانیکی در جهت ضخامت استفاده شده است، که در مورد پارامتر های و بعدا توضیح داده خواهد شد.
۱-۲-۴-۳ مدل توانی^[۳۴]
مدل غیر خطی برای توزیع خواص مکانیکی می باشد و به صورت زیر در نظر گرفته می شود[]:

(۱-۶)

که در این رابطه، اندازه ی ماده در جهت میباشد و پارامتر اندیس توانی است.
۱-۳ تئوری تنش کوپل یا گرادیان کرنش الاستیسیته
۱-۳-۱ مقدمه
نتایج تحقیقات آزمایشگاهی نشان داده اند که وقتی ابعاد هندسه ی مورد مطالعه در مقیاس میکرو باشد، تئوری کلاسیک الاستیسیته قادر به پیش بینی رفتار الاستیک مواد نمی باشد. اثرات مربوط به اندازه در رفتار تغییر شکل تیرهای در مقیاس میکرو به طور تجربی در فلزات و پلیمرها مشاهده شده است. فلک^[۳۵] وهمکاران[] دریافتند که وقتی قطر سیمها از ۱۷۰ میکرو متر به ۱۲ میکرو متر کاهش می یابد، استحکام برشی با ضریب ۳ افزایش می یابد. در تست خمشی در ابعاد میکرو برای تیرهای اُپوکسی پلیمری لام ^[۳۶] و همکاران[] گزارش دادند که وقتی ضخامت تیر از ۱۱۵ میکرو متر به ۲۰ میکرو متر کاهش می یابد صلبیت خمشی حدود ۴/۲ برابر بزرگتر می شود. این عدم توانایی در پیش بینی رفتار مواد ناشی از این است که تئوری کلاسیک الاستیسیته قادر به مدل سازی رفتار مواد در مقیاس میکرو نمی باشد. تئوری تنش کوپل با وارد کردن پارامتر جدیدی به نام طول مشخصه ماده (که مربوط به ساختار شبکه بلوری ماده می شود) به عنوان یکی از خصوصیات ماده (علاوه بر ضرایب لامه) در معادلات ساختاری، اقدام به در نظر گرفتن اثرات ساختار ماده در مقیاس میکرو بر روی رفتار مواد می کند. در این تئوری تابع چگالی انرژی کرنش ماده علاوه بر کرنش تابعی از گرادیان کرنش نیز در نظر گرفته می شود که منجر به وارد شدن چهار طول مشخصه ماده در معادلات ساختاری می شود.
۱-۳-۲ تاریخچه تئوری تنش کوپل
همانطور که اشاره شد وقتی پارامترای طول مشخصه ی ماده و ابعاد ماده با هم قابل مقایسه باشند، تئوری محیط پیوسته ی کلاسیک نمیتواند رفتار ماده را پیش بینی کند. اگرچه ایده ی اصلی وارد کردن مشتقات کرنش در رابطه انرژی کرنش برای اولین بار توسط Bernouli و Euler ارائه شده است ولی برای مدت زیادی رابطه ارائه شده توسط آنها مورد توجه محققان قرار نگرفت. برادران کوسرات^[۳۷] [] در سال ۱۹۰۹ برای اولین بار فرمولاسیونی برای تاثیر گرادیان کرنش در روابط الاستیسیته را ارائه کرده و مفهوم تنش کوپلی را بیان کردند. آنها در بیان رفتار مواد اقدام به در نظر گرفتن شش درجه آزادی (سه درجه آزادی جابجایی و سه درجه آزادی دورانی) در هر نقطه از جسم کردند. در تئوری ارائه شده توسط آنها علاوه بر تنشهای کوشی، تنشهای کوپلی نیز در معادلات حرکت وجود دارد. همچنین تانسور تنش در تئوری Cosserat متقارن نیست در حالیکه برای تئوری کلاسیک الاستیسته تانسور تنش متقارن است. توپین^[۳۸] [] به ارائه ی معادلات ساختاری در تئوری محیط پیوسته ی کوسرات برای تغییر شکلهای کوچک پرداخت. میندلین^[۳۹] و تیرستن^[۴۰] [] به ارائه ی فرمولاسیون محیط پیوسته ی کوسرات برای تغییر شکلهای کوچک و بزرگ پرداختند. این تئوریهای ارائه شده دارای ۴ ثابت ماده برای بررسی مواد الاستیک ایزوتروپیک می باشد.
Lam و همکارانش [] تئوری تنش کوپل را با در نظر گرفتن گرادیانهای کرنش، گرادیان چرخش و همچنین گرادیان کشیدگی انحرافی اصلاح کردند. اینگونه یک معادله ی اضافی برای تعادل تنشهای مراتب بالاتر به معادلات تعادل نیرویی وممانی اضافه شد. آنها معادلات تعادل را در حالت کلی با در نظر گرفتن شرایط مرزی تیرهای دو سر مفصل و یک سر گیر دار برای بارگذاریهای خمشی ارائه کردند.
فصل دوم

مروری بر کارهای انجام شده

۲-۱ مطالعه اثر تغییرات دمائی در سیستمهای میکروالکترومکانیکی

با کاهش اندازه ترکیبات و با افزایش پیچیدگی آنها، دمای وسیله افزایش می یابد. به علاوه در سیستمهای MEMS حرکتهای مکانیکی داخل بسته نیز گاهی می تواند باعث تولید گرمای قابل ملاحظه ای در طول عملیات گردد. برخی کاربردهای خاص نیازمند استفاده از MEMS در محیطهای با دمای بالا هستند. بنابراین اهمیت رفتار دما بالای لایه های نازک به طور فزاینده ای افزایش می یابد و آگاهی راجع به خواص مکانیکی مواد در هر دو دمای اتاق و دمای بالا برای طراحی موفق و پیشرفت MEMS ضروری است. در مواردی که تغییرات دمائی حساس است، مثلا در شرایط فضانوردی و ارتباطات ماهواره ای، تاثیر دما در ساخت وسیله MEMS و همچنین در طول پروسه بسته بندی جزء اصلی ترین دغدغه ها محسوب می شود. لفنتان^[۴۱] و همکارانش روی تاثیر دما بر تسریع ولتاژ pull-in میکروسوئیچها تحقیقاتی انجام داده اند. در واقع تغییر محسوس درجه حرارت از دمای اتاق، ولتاژ
pull-in را از رنج قابل قبول خارج می سازد. این خاصیت نیاز به شناسائی سازه هائی را که قادر به کاهش حساسیت سیستم در برابر نوسانات دمائی با حفظ رنج قابل قبول ولتاژ تحریک هستند، روشن می سازد. علاوه بر تغییرات دمای محیط، تغییر دمای ناشی از اتلاف انرژی نیز به همان میزان بر قابلیت اعتماد سوئیچها تاثیر دارد.
یانگ ژو^[۴۲] و همکارانش تاثیر دما را روی عملکرد میکروسوئیچهای خازنی با فرکانس رادیوئی مطالعه کرده اند. این کار با بهره گرفتن از مدل محرک صفحه موازی یک بعدی، مدل تقسیم شده دو بعدی، و مدلسازی المان محدود سه بعدی انجام گرفته و نشان داده شده که افزایش دما باعث ایجاد تنش در غشاء میکروسوئیچ شده که سختی سیستم را از بین برده و در نتیجه شکست آن را موجب می شود.
رفتار مکانیکی وابسته به دما و اندازه مربوط به لایه های نازک به طور گسترده در ده سال گذشته مورد مطالعه قرار گرفته است. از جمله محققین در این زمینه عبارتند از: فلک^[۴۳] و هاچینسون^[۴۴] در سال ۱۹۹۳ []، کلورینگا^[۴۵] و همکارانش در سال ۱۹۹۷ []، امری^[۴۶] و همکارانش درسال ۱۹۹۷ []، عمر سو لنگ^[۴۷] در سال ۲۰۰۱ []، اسپینوسا^[۴۸] و همکارانش در سال ۲۰۰۳ []، امری و پویرک در سال ۲۰۰۳ [].
۲-۲ مطالعه اثر نیروهای الکترواستاتیکی در سیستمهای میکروالکترومکانیکی
میکرو تیرهای با تحریک ولتاژی به طور گسترده در بسیاری از دستگاه های MEMS مانند میکرو سوئیچ های خازنی و میکرو سنسورهای نوسانی استفاده می شود. میکرو ساختار بین نیروی جذب الکترواستاتیک و نیروی بازگرداننده مکانیکی (الاستیک) بالانس می شود، هر دو نیروهای الکترواستاتیک و الاستیک بازگرداننده با افزایش ولتاژ الکترواستاتیک افزایش می یابند. هنگامی که ولتاژ به مقدار بحرانی می رسد، ناپایداری pull-in اتفاق می افتد، نقطه ای که نیروی بازگرداننده الاستیک دیگر نمی تواند نیروی الکترواستاتیک را بالانس کند. افزایش بیشتر ولتاژ سبب خواهد شد ساختار پرش ناگهانی داشته باشد که باعث فروپاشی ساختار می شود. ناپایداری pull-in یک رفتار ضربه مانند ناگهانی است و آن نوعی ناپایداری دوشاخگی گره زینی است [] در میکرو آینه ها [] و میکرو نوسانگرها [] طراح برای رسیدن به حرکات با ثبات از این ناپایداری ها جلوگیری می کند، در حالی که در کاربردهای سوئیچینگ [] طراح این اثر را برای بهینه سازی عملکرد دستگاه بکار می گیرد.
مدلهای بسیاری برای مطالعه پدیده pull-in و رفتار استاتیکی و دینامیکی میکروتیرهای تحت تحریک الکترواستاتیکی ارائه گردیده است. یونیس^[۴۹]، عبدالرحمن^[۵۰] و نایفه^[۵۱] ارزیابی ارزشمندی در این زمینه انجام داده اند که خلاصه آن به این شرح است []:
یونیس و همکارانش در سال ۲۰۰۲ و همچنین عبدالرحمن و همکارانش نیز در سال ۲۰۰۲ یک مدل غیرخطی برای میکروتیری که در معرض نیروی الکترواستاتیکی قرار داشت ارائه دادند، و مساله مقدار مرزی را که توصیف کننده خیز استاتیکی میکروتیر تحت نیروی الکترواستاتیکی DC بود با روش عددی حل کردند. به روش عددی مشابه، مساله مقدار ویژه که توصیف کننده ارتعاش میکروتیر حول نقطه تعادلش به ازای فرکانسهای طبیعی آن بود نیز حل شد. این نتایج نشان دادند که با تنظیم نسبت عرض فاصله هوائی به ضخامت میکروتیر می توان دامنه رابطه خطی بین اختلاف ولتاژ DC و فرکانس طبیعی اصلی را گسترش داد.
یونیس و نایفه در سال ۲۰۰۳ تحقیقات یونیس و عبدالرحمن در سال ۲۰۰۲ را با بررسی واکنش میکروتیر به بار الکتریکی مرکب از DC و AC تداوم و گسترش دادند. با اعمال یک روش انحرافی برای معادله کلی حرکت میکروتیر و شرایط مرزی آن، موفق به بدست آوردن تقریبی واکنش میکروتیر نسبت به تحریک اولیه شدند. آنها معادلات توصیف کننده فرکانس تشدید غیرخطی، دامنه راه حلهای پریودیک و پایداری این راه حلها را بدست آوردند. نتایج آنها گویای این بود که افزایش نیروی محوری باعث بهبود ویژگیهای خطی فرکانس تشدید می شود، در حالیکه افزایش کشش صفحه میانی اثر معکوس دارد. بعلاوه، بار الکترواستاتیکی DC از نظر کیفی و کمی بر طبیعت منحنی های فرکانس-واکنش در نتیجه رفتار سختی و یا نرمی اثر می گذارد.
عبدالرحمن و نایفه در سال ۲۰۰۳، رفتار و واکنش میکروتیر الکترواستاتیکی را تحت تاثیر تحریکات فوق همساز^[۵۲] و زیر همساز^[۵۳] بررسی کردند. آنها از مقیاس چندگانه برای به دست آوردن معادله دیفرانسیلی غیرخطی مرتبه اول برای توصیف دامنه و شکل واکنش و پایداری آن استفاده کردند. آنها منحنی های فرکانس-واکنش و نیرو-واکنش را ارائه دادند. این مدل عبدالرحمن و نایفه فقط در بارگذاری کوچک AC کاربرد دارد. یونیس و عبدالرحمن و همکارانشان در سال ۲۰۰۳ یک روش کاهش مرتبه برای شبیه سازی رفتار استاتیکی و دینامیکی میکروتیرهای تحت بارگذاری الکتریکی با حرکتهای کوچک و بزرگ به کار بردند. این مدل از تعدادی اندک از شکلهای مدهای یک تیر افقی به عنوان توابع پایه ای در روش گالرکین استفاده می کند، و بنابراین این روش، پیچیدگی شبیه سازی و همچنین زمان محاسبه را به طور قابل ملاحظه ای کاهش می دهد. برخلاف مدل یونیس و عبدالرحمن در سال ۲۰۰۲، مدل کاهش مرتبه با نزدیک شدن به ناپایداری pull-in قوت بیشتری می یابد. بنابراین یونیس و عبدالرحمن با جدیت بیشتری به مطالعه رفتار استاتیکی میکروتیر توسط این مدل پرداختند. آنها خیز استاتیکی را در هر ولتاژ DC محاسبه کردند و دو گونه راه حل بدست آوردند: راه حل بزرگتر ناپایدار و کوچکتر پایدار بود. با افزایش ولتاژ DC این دو راه حل به یکدیگر نزدیک می شدند و همدیگر را در یک نقطه زینی تخریب میکردند، این نقطه همان ولتاژ pull-in بود. آنها دریافتند که خیز pull-in تقریبا ۵۷% فاصله هوائی خازن است که مشخصا بیشتر از مقدار گزارش شده در تئوری های خطی که ۳۳% این مقدار است، می باشد. در نهایت آنها از این مدل برای شبیه سازی رفتار دینامیکی یک سوئیچ MEMS استفاده کرده و زمان pull-in آنرا محاسبه کردند. در حالیکه مدل یونیس و نایفه درک بهتری از پدیده ناپایداری pull-in را به دست داده بود اما بر تحلیل استاتیکی استوار بود. با توجه به اینکه رفتار این سیستمهای MEMS غیر خطی است، امکان ناپایداری دینامیکی (pull-in دینامیکی) بسیار بالاست که می تواند به شکل خطرناک زیر ولتاژ pull-in استاتیکی رخ دهد. در هر حال مطالعات اندکی در خصوص پدیده pull-in دینامیکی در اثر سایر انواع بارگذاری دینامیکی انجام گرفته است. انانتاسورش^[۵۴] و همکارانش [] در سال ۱۹۹۶ و کرایلو^[۵۵] و همکارانش [] در سال ۲۰۰۳ پدیده