به صورت است که پس از محاسبات زیادی بهدست می آید. علاوه بر این هرگاه بخواهیم مقدار y(x) را به ازای x داده شده بهدست آوریم این کار مشکل است. لذا حل عددی معادلات دیفرانسیل مبحثی است که کاربرد زیادی دارد.
این قسمت را با سادهترین معادله یعنی معادله مرتبه اول
(۲-۹۳)
شروع میکنیم که در آن و مقادیر معلومی هستند. هرگاه y جواب معادله دیفرانسیل باشد، y(xn) را مقدار y به ازاء xn و yn تقریبی در نظر میگیریم یعنی داریم:
(۲-۹۴)
روشی را که بررسی میکنیم این است که با در نظر گرفتن h و نقاط ، کمیت (xn) yتوسط yn تقریب زده می شود و yn را بهدست می آید. برای این منظور روشهای زیادی وجود دارد که چند تا از آنها را بررسی میکنیم.
( اینجا فقط تکه ای از متن فایل پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )
الف- روش بسط تیلور:
یکی از روشهای حل عددی معادلات دیفرانسیل، استفاده از سری تیلور است روش تیلور قابلیت اجرایی
کلی داشته و برای مقایسه دقت روشهای عددی مختلف برای حل یک مسئله مقدار اولیه روشهایی ارائه میدهد این روش می تواند برای داشتن دقتی از درجه بالاتر ساخته شود.
معادله دیفرانسیل (۲-۹۳) را در نظر بگیرید که معادلهای از مرتبه اول است و در آن تابع f ممکن است نسبت به y خطی یا غیرخطی باشد. در هر صورت فرض میکنیم f به اندازه کافی نسبت به x و y مشتقپذیر باشد. هرگاه باشد در این صورت بسط تیلور تابع y را حول مینویسیم.
بنابراین خواهیم داشت:
(۲-۹۵)
جواب y(x) مجهول است، مشتقات آن نیز موجود نیست ولی با بهره گرفتن از معادله دیفرانسیل و به شرط وجود مشتقات f نسبت به x و y تا هر مرتبه دلخواه میتوان را بدست آورد. هرگاه در این صورت:
به همین ترتیب میتوانیم مشتقات مرتبه بالاتر را نیز بهدست آوریم. هر چند همانطور که روابط فوق نشان می دهند حتی اگر تابع f تابعی ساده باشد. مشتقات مرتبه بالای y میتوانند پیچیده باشند. لذا امکان استفاده از جملات با مرتبه بالا در سری تیلور نیست. بنابراین بایستی سری (۲-۹۵) را محدود کنیم که این عمل باعث می شود که جواب بهدست آمده برای معادله در یک نقطه از فاصله [a,b] با مقدار واقعی جواب، اختلاف داشته باشد.
هرگاه سری (۲-۵۹) را تا مشتق مرتبه k ام بنویسیم در این صورت:
(۲-۹۶)
برای تعیین جواب معادله دیفرانسیل در نقطه h + ۱x = ۲x مراحل بالاتر را تکرار میکنیم، بنابراین داریم:
(۲-۹۷)
البته در اینجا )۱y(x را نداریم و ناچار بایستی مقدار تقریبی آن یعنی ۱y را قرار دهیم در نتیجه
(۲-۹۸)
با تکرار روش فوق y را در تمام نقاط برای تعیین میکنیم.
الگوریتم روش تیلور از مرتبه k:
برای پیدا کردن جواب تقریبی معادله دیفرانسیل مرتبه اول با شرط در فاصله [a,b] به ترتیب زیر عمل میکنیم:
فاصله [a,b] را به N قسمت مساوی به طول تقسیم کرده و قرار میدهیم:
با داشتن yn مقدار تقریبی یعنی را از فرمول زیر بهدست میآوریم:
(۲-۹۹)
ب- روش اویلر:
همه مسائل با مقدار اولیه را نمی توان به طور صریح حل کرد و اغلب پیدا کردن یک فرمول برای جواب y(t) ممکن نیست، مثلاً عبارتی به شکل بسته برای جواب با وجود ندارد. بنابراین برای هدفهای مهندسی و علمی لازم است روشهایی برای بهدست آوردن جواب تقریبی داشته باشیم. اگر جوابی با تعداد زیادی رقم با معنی نیاز باشد، آنگاه از محاسبات دقیقتر و الگوریتم پیشرفتهتری باید استفاده کرد. که اولین راه روش اویلر است و برای نشان دادن مفاهیم پیچیده در روشهای پیشرفته به کار برده می شود. این روش به خاطر داشتن خطای زیاد استفاده محدودی دارد.
هرگاه در الگوریتم تیلور ۱ k = باشد داریم:
(۲-۱۰۰)
این روش به روش اویلر موسوم است.
ج- روش رونگه- کوتا:
در روش تیلور، خطای برش G.T.E (global truncation error) از مرتبه O(hN) است. N را میتوان بزرگ انتخاب کرد تا خطا کوچک باشد. عیب روش تیلور این است که مشتقات از مرتبه بالاترند و باید N را از پیش تعیین نمود که خیلی پیچیده است. هر روش رونگه – کوتا از یک روش تیلور به طریقی بدست می آید که G.T.E از مرتبه O(hN) باشد.
مبادلهای صورت میگیرد تا چندین محاسبه مقدار تابع در هر گام انجام شود و لزوم محاسبه مشتقهای بالاتر حذف گردند. این روشها برای هر مرتبهای از N می تواند ساخته شوند. روش رونگه- کوتا مرتبه چهار (۴N= ) متداولترین است. و یک انتخاب خوب برای هدفهای معمولی است، زیرا که کاملاً دقیق و پایدار بوده و از نظر برنامهنویسی ساده است.
روش رونگه- کوتای مرتبه چهار (RK4) دقت روش سری تیلور مرتبه چهارم را شبیهسازی می کند. اثبات از لحاظ جبری پیچیده است و منجر به فرمولی می شود که حاوی یک ترکیب خطی از مقادیر تابع است. ضرایب این فرمول طوری انتخاب میشوند که این روش در عمل دارای خطای برش از مرتبه در نتیجه یک G.T.E از مرتبه داشته باشد.
برای معادله با شرط و مقدار ثابت h قرار می دهیم:
(۲-۱۰۱)
که در آن:
(۲-۱۰۲)
با تعیین مقدار و داشتن ، مقدار تقریبی یعنی به دست می آید.
روش رونگه- کوتا روش پایدار ات یعنی خطاهای کوچک در آن بزرگ نمیشوند این روش خود آغاز است یعنی فقط و را در نظر میگیریم و عملیات را ادامه میدهیم. این روش معایبی هم دارد. در هر مرحله چهار بار محاسبه جداگانه f(x,y) ضروری است خطا هر چند که در هر مرحله از مرتبه ۵h است ولی مقدارش مشخص نیست. معمولاً h را نصف می کنند و محاسبه را تکرار می کنند، اگر نتیجه دوم با نتیجه اول سازگار بود آنگاه پی میبرند که h به اندازه کافی کوچک بوده است. همچنین روش رونگه- کوتا را میتوان به مجموعه ای از معادلات مرتبه اول جفت شده تعمیم داد.
در این پروژه برای یافتن راه حل عددی معادله Mathieu در دام پاول و معادله حرکت یون در QIT از روش رونگه – کوتا مرتبه چهار استفاده شده است.
فصل سوم
نمودارهای پایداری و ناپایداری دام یون چهار قطبی هذلولوی
مقدمه :
در فصل دوم دستگاه معادلات دیفرانسیل حاکم بر رفتار یون در دام چهار قطبی الکتریکی هذلولوی بررس شده است.
در این فصل منحنی های موقعیت یون به دام افتاده را به صورت تابعی از زمان، مسیر حرکت یون و منحنی های فاز را به دست می آوریم. نواحی پایداری اول تا سوم این دستگاه معادلات برای به دام اندازی یون محاسبه ورسم شده است.
برای به دام اندازی یک یون مشخص ، باید ولتاژهای U و V فرکانس v و ابعاد دام را به گونه ای انتخاب کرد که پارامترهای داخل این نواحی قرار گیرند با این روش می توان حتی برای مدتی چند هفته یک یون را در فضای کوچکی به دام انداخت . البته برای این منظور، یون باید توسط لیزر سرد شود.
[جمعه 1401-04-17] [ 11:49:00 ب.ظ ]
|