در طرح نمونه گیری مضاعف برای طبقه بندی در ابتدا وزن طبقات، ، نامعلوم است و پس از بدست آوردن نمونه ی اولیه در فاز اول برآورد وزن طبقات بدست می آید که یک برآوردگر نااریب برای است. در این روش نمونه گیری از امید ریاضی مکرر استفاده

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

می شود. در واقع با فرض اینکه در فاز اول برآورد شده و یک مقدار معلوم است، نشان
می دهیم یک برآوردگر نااریب برای میانگین جامعه است.

(۲-۲۳)

به طور مشابه می توان نشان داد که نیز یک برآوردگر نااریب برای میانگین جامعه کمکی، ، است.
واریانس برآوردگر میانگین جامعه، ، به صورت زیر بدست می آید :

(۲-۲۴)

اثبات واریانس این برآوردگر توسط کاکران ]۴[ در سال ۱۹۷۷ محاسبه شده است.
برآورد واریانس برآوردگر توسط راﺋو ]۲۰[ در سال ۱۹۷۳ به صورت زیر ارائه شد :

(۲-۲۵)

۲-۵ برآوردگر رگرسیونی مرکب و برآوردگر رگرسیونی جدا در نمونه گیری مضاعف برای طبقه بندی
فرض کنید یک متغیر کمکی در اختیار دارید که با متغیر پاسخ همبستگی نسبتا بالایی داشته باشد، در این صورت برآوردگر رگرسیونی، یک برآوردگر مناسب است. در جامعه های دارای طبقه بندی از برآوردگر رگرسیونی به دو صورت مرکب و جدا استفاده می شود.
برآوردگر رگرسیونی مرکب^[۳۸] برآوردگری است که برای بدست آوردن آن، ابتدا میانگین طبقه ای دو متغیر پاسخ و کمکی در فاز دوم طرح نمونه گیری مضاعف برای طبقه بندی به طور جداگانه برآورد می شود و سپس در فرمول برآوردگر رگرسیونی قرار داده می شود.
برآوردگر رگرسیونی جدا ^[۳۹] برآوردگری است که برای بدست آوردن آن، ابتدا در هر طبقه میانگین طبقه به کمک فرمول برآوردگر رگرسیونی در آن طبقه برآورد شده سپس با بهره گرفتن از میانگین موزون برآوردهای تمام طبقات، برآورد میانگین جامعه حاصل می شود.
زمانی که شیب خط رگرسیونی درون طبقات با هم برابر باشد دو روش کارایی یکسانی دارند، ولی در حالتی که شیب خط های رگرسیونی درون طبقات با هم برابر نباشد برآوردگر رگرسیونی جدا کاراتر خواهد بود.
۲-۵-۱ برآوردگر رگرسیونی مرکب برای میانگین جامعه
سینگ و همکاران ]۳۲[ در سال ۲۰۰۷ برآوردگر رگرسیونی مرکب میانگین جامعه که به صورت نمادگذاری می کنند و از فرمول زیر بدست می آید :